Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13173
2023-07-09 
Доказать, что многочлены
$a^{5} + 4a^{3} + 3a$ и $a^{4} + 3a^{2} + 1$
не имеют общих делителей ни при каком целом $a$.
Решение:
$a^{5} + 4a^{3} + 3a = a (a^{2} + 1)(a^{2} + 3)$ и $a^{4} + 3a^{2} + 1 = a^{2}(a^{2} + 3) + 1$.
Пусть $a_{0}$ - некоторое целое число. Тогда делители числа
$a_{0}^{5} + 4a_{0}^{3} + 3a_{0}$
являются делителями по крайней мере одного из чисел $a_{0}, a_{0}^{2} + 1$ и $a_{0}^{2} + 3$. Пусть число $d$ - делитель числа $a_{0}$ или числа $a_{0} + 3$. Очевидно, что это число не может быть делителем числа $a_{0}^{4} + 3a_{0}^{2} + 1$. Пусть $d$ - делитель числа $a_{0} + 1$. Так как $a_{0}^{4} + 3a_{0}^{2} + 1 = a_{0}^{4} + 3a^{2} + 2 - 1 = (a_{0}^{2} + 1)(a_{0}^{2} + 2) - 1$, то очевидно, что $d$ не может быть делителем числа $a_{0}^{4} + 3a_{0}^{2} + 1$.
Доказать, что многочлены
$a^{5} + 4a^{3} + 3a$ и $a^{4} + 3a^{2} + 1$
не имеют общих делителей ни при каком целом $a$.
Решение:
$a^{5} + 4a^{3} + 3a = a (a^{2} + 1)(a^{2} + 3)$ и $a^{4} + 3a^{2} + 1 = a^{2}(a^{2} + 3) + 1$.
Пусть $a_{0}$ - некоторое целое число. Тогда делители числа
$a_{0}^{5} + 4a_{0}^{3} + 3a_{0}$
являются делителями по крайней мере одного из чисел $a_{0}, a_{0}^{2} + 1$ и $a_{0}^{2} + 3$. Пусть число $d$ - делитель числа $a_{0}$ или числа $a_{0} + 3$. Очевидно, что это число не может быть делителем числа $a_{0}^{4} + 3a_{0}^{2} + 1$. Пусть $d$ - делитель числа $a_{0} + 1$. Так как $a_{0}^{4} + 3a_{0}^{2} + 1 = a_{0}^{4} + 3a^{2} + 2 - 1 = (a_{0}^{2} + 1)(a_{0}^{2} + 2) - 1$, то очевидно, что $d$ не может быть делителем числа $a_{0}^{4} + 3a_{0}^{2} + 1$.
