Каждый день на протяжении года ученик решал не меньше одной задачи, при этом каждую неделю он решал не больше 12 задач. Доказать, что найдется несколько последовательных дней, за которые он решил ровно 20 задач.
Подробнее
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть полным квадратом.
Подробнее
В городе насчитывается 10000 телефонов. Их номера обозначаются четырьмя цифрами. В центральном районе установлено больше, чем половина всех телефонов. Доказать, что хотя бы один из номеров телефонов центрального района равняется сумме номеров двух других телефонов этого же района.
Подробнее
Доказать, что из $n + 1$ разных натуральных чисел, меньших $2n$, можно выбрать три такие, сумма двоих которых равняется третьему числу.
Подробнее
Имеем лист бумаги. Его надо разрезать на 8 или 12 частей. Каждую из частей, которая получилась после разрезания опять разрезать на 8 или 12 частей или оставить без изменений. Можно ли продолжая таким образом разрезание, получить 60 частей листа?
Подробнее
Летела стая сороконожек и трехголовых драконов. У них было всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки одна голова. Сколько ног у трехголовых драконов?
Подробнее
Женщина сдает в багажное отделение рюкзак, чемодан, саквояж и корзинку. Чемодан тяжелее, чем рюкзак; саквояж и рюкзак тяжелее, чем корзинка и чемодан, а корзинка и саквояж вместе весят столько, сколько чемодан и рюкзак. Какой из этих грузов самый тяжелый, а какой самый легкий?
Подробнее
Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты настоящие (весят по 10 г), а в одном мешке все монеты фальшивые (весят по 11 г). Одним взвешиванием определить, в каком мешке фальшивые монеты.
Подробнее
Математик $M$ любил говорить, что ему исполнилось $x$ лет в $x^{2}$ году. Математик $N$, желая его перещеголять, говорил, что ему было $a^{2} + b^{2}$ лет в $a^{4} + b^{4}$ году, что его возраст равнялся $2m$ в $2m^{2}$ году и, наконец, что ему исполнилось $3n$ лет в $3n^{4}$ году. В каком году родились математики $M$ и $N$.
Подробнее
Докажите, что любую сумму, большую семи копеек, можно уплатить трехкопеечными и пятикопеечными монетами, не получая сдачи.
Подробнее
Доказать, что при всяком целом $n$ число $n^{3} - n$ делится на 3.
Подробнее
Доказать, что при всяком целом $n$ число $n^{5} - n$ делится на 5.
Подробнее
Доказать, что при всяком целом $n$ число $n^{5} - 5n + 4n$ делится на 120.
Подробнее
Доказать, что при любом четном $n$ число $n^{3} + 20n$ делится на 48.
Подробнее
Доказать, что $n^{7} - n$ делится на 42 при любом натуральном $n$.
Подробнее
