Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13170
2023-07-09 
Если $x$ и $y$ - целые, взаимно простые числа, то наибольший общий делитель чисел $x - y$ и
$x^{n-1} + x^{n-2} \cdot y + x^{n-3} \cdot y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1}$
есть делитель числа $n$. Доказать.
Решение:
Обозначим частное от деления многочлена
$x^{n-1} + x^{n-2} \cdot y + \cdots + y^{n-1} = F(x,y)$
на разность $x - y$ через $Q (х, y)$.
По теореме Безу имеем:
$F(x, y) = (x_y)Q (x, y) + ny^{n-1}$.
Обозначим наибольший общий делитель для $F(x, y)$ и $x - y$ через $D$. Тогда:
$F(x, y) = kD$ и $x - y = tD$, где $k$ и $t$ - целые.
Отсюда следует, что $Dk = DtQ (x, y) + ny^{n-1}$ или
$k = t Q(x,y)+ \frac{ny^{n-1}}{D}$.
Так как $D$ не является делителем $y$ (ибо в противном случае $y$ и $x - y$ имели бы общий делитель, а следовательно, $x$ и $y$ также имели бы общий делитель), а $\frac{ny^{n-1}}{D}$ - целое, то $D$ является делителем $n$.
Если $x$ и $y$ - целые, взаимно простые числа, то наибольший общий делитель чисел $x - y$ и
$x^{n-1} + x^{n-2} \cdot y + x^{n-3} \cdot y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1}$
есть делитель числа $n$. Доказать.
Решение:
Обозначим частное от деления многочлена
$x^{n-1} + x^{n-2} \cdot y + \cdots + y^{n-1} = F(x,y)$
на разность $x - y$ через $Q (х, y)$.
По теореме Безу имеем:
$F(x, y) = (x_y)Q (x, y) + ny^{n-1}$.
Обозначим наибольший общий делитель для $F(x, y)$ и $x - y$ через $D$. Тогда:
$F(x, y) = kD$ и $x - y = tD$, где $k$ и $t$ - целые.
Отсюда следует, что $Dk = DtQ (x, y) + ny^{n-1}$ или
$k = t Q(x,y)+ \frac{ny^{n-1}}{D}$.
Так как $D$ не является делителем $y$ (ибо в противном случае $y$ и $x - y$ имели бы общий делитель, а следовательно, $x$ и $y$ также имели бы общий делитель), а $\frac{ny^{n-1}}{D}$ - целое, то $D$ является делителем $n$.
