Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13162
2023-07-09 
Доказать, что по крайней мере одно из двух чисел $m + n, m - n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа, кратно трем.
Решение:
Если $m$ и $n$ - кратны трем, то утверждение верно. Если ни $m$, ни $n$ не кратны трем, то возможны три случая:
1) $m = 3k + 1, n = 3p+1$;
2) $m = 3k + 2, n = 3p + 2$;
3) $m = 3k + 2, n = 3p + 1$;
где $k, p \in N$. Случай $m = 3k + 1, n = 3p + 1$ аналогичен случаю 3).
В случаях 1) и 2) число $m - n$ будет кратно трем, а в случае 3) $m + n$ будет кратно трем.
Доказать, что по крайней мере одно из двух чисел $m + n, m - n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа, кратно трем.
Решение:
Если $m$ и $n$ - кратны трем, то утверждение верно. Если ни $m$, ни $n$ не кратны трем, то возможны три случая:
1) $m = 3k + 1, n = 3p+1$;
2) $m = 3k + 2, n = 3p + 2$;
3) $m = 3k + 2, n = 3p + 1$;
где $k, p \in N$. Случай $m = 3k + 1, n = 3p + 1$ аналогичен случаю 3).
В случаях 1) и 2) число $m - n$ будет кратно трем, а в случае 3) $m + n$ будет кратно трем.
