ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-07-09   
Доказать, что ни при каком натуральном $n$ число $n^{2} + 1$ не делится на 3.


Решение:


Так как речь идет о делимости на 3, рассмотрим три класса натуральных чисел:

- класс чисел, делящихся на 3 (Это числа вида $3k$, где $k$ - любое натуральное число);
- класс чисел, дающих при делении на 3 в остатке единицу (это числа вида $3k + 1$, ще $k = 0,1, 2, \cdots$);
- числа, дающие при делении на 3 в остатке 2 (это числа вида $3k + 2$, где $k = 0, 1, 2, \cdots$).

Произвольное натуральное число обязательно попадает в один из таких классов.

Поэтому задача будет решена, если мы докажем неделимость на 3 числа $n^{2} + 1$ для каждого из выделенных классов.

Если $n = 3k$, то $n^{2} + 1 = 9k^{2} + 1$. Ясно, что при делении на 3 число $n^{2} + 1$ дает в остатке 1.

Если $n = 3k + 1$, то $n^{2} + 1 = 9k^{2} + 6k + 2$. Число $9k^{2} + 6k$ делится на 3, и поэтому в рассматриваемом случае $n^{2} + 1$ при делении на 3 имеет в остатке 2.

Если $n = 3k + 2$, то

$n^{2} + 1 = 9k^{2} + 12k + 3 = (9k^{2} + 12k + 3) + 2$.

Число, заключенное в скобках, делится на 3. Отсюда получаем, что $n^{2} + 1$ при делении на 3 и в этом случае имеет в остатке 2.

Следовательно, ни при каком натуральном $n$ число $n^{2} + 1$ не делится на 3.