Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13172
2023-07-09 
Натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Доказать, что наибольший общий делитель чисел $a + b$ и $a^{2} + b^{2}$ равен 1 или 2.
Решение:
Достаточно доказать, что не существует числа $d$, большего 2, на которое делились бы числа $a + b$ и $a^{2} + b^{2}$ (при условии, что $a$ и $b$ взаимно просты).
Если $a^{2} + b^{2}$ и $a + b$ делятся на $d$, то и числа $2a^{2} = (a^{2} + b^{2}) + (a - b)(a + b)$ и $2b^{2} = (a^{2} + b^{2}) + (b - a)(a + b)$ делятся на $d$. Но поскольку числа $a$ и $b$ взаимно просты, то числа $a^{2}$ и $b^{2}$ также взаимно просты; следовательно, $2a^{2}$ и $2b^{2}$ не могут делиться на число $d$. Но на 2 они делятся, так как на 2 делятся $2a^{2}$ и $2b^{2}$.
Натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Доказать, что наибольший общий делитель чисел $a + b$ и $a^{2} + b^{2}$ равен 1 или 2.
Решение:
Достаточно доказать, что не существует числа $d$, большего 2, на которое делились бы числа $a + b$ и $a^{2} + b^{2}$ (при условии, что $a$ и $b$ взаимно просты).
Если $a^{2} + b^{2}$ и $a + b$ делятся на $d$, то и числа $2a^{2} = (a^{2} + b^{2}) + (a - b)(a + b)$ и $2b^{2} = (a^{2} + b^{2}) + (b - a)(a + b)$ делятся на $d$. Но поскольку числа $a$ и $b$ взаимно просты, то числа $a^{2}$ и $b^{2}$ также взаимно просты; следовательно, $2a^{2}$ и $2b^{2}$ не могут делиться на число $d$. Но на 2 они делятся, так как на 2 делятся $2a^{2}$ и $2b^{2}$.
