ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-07-09   
Докажите, что любую сумму, большую семи копеек, можно уплатить трехкопеечными и пятикопеечными монетами, не получая сдачи.


Решение:


1 способ.
Достаточно проверить, что трехкопеечными и пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 +3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.

2 способ.
Любое натуральное число $m$, большее 7, можно представить в одном из следующих видов:

$m = 3n$, где $n \in N, n \geq 3$;
$m = 3n + 1$, где $n \in N, n \geq 3$;
$m = 3n + 2$, где $n \in N, n \geq 2$

Если $m = 3n$, то очевидно, сумму можно уплатить трехкопеечными монетами.

Если $m = 3n + 1$, то

$m = 3(n - 3) + 3 \cdot 3 + 1 = 3 (n - 3) + 5 \cdot 2$,

где $n - З \in Z$ (так как $n \geq 3$).

Данную сумму можно уплатить трехкопеечными и одной пятикопеечной монетой.