Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13137
2023-07-09 
Доказать, что из $n + 1$ разных натуральных чисел, меньших $2n$, можно выбрать три такие, сумма двоих которых равняется третьему числу.
Решение:
Например, среди четырех чисел 1, 2, 4, 5, каждое из которых меньше 6, есть три таких, что 1 + 4 = 5. Разместим данные числа в порядке возрастания и обозначим их так: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n+1}$. Образуем числа $a_{2} - a_{1}; a_{3} - a_{1}; a_{4} - a_{1}; \cdots, a_{n+1} - a_{1}$, где $a_{1}$ - наименьшее из данных чисел. Тогда среди чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, a_{n+1}, a_{2} - a_{1}; \cdots; a_{n + 1} - a_{n+1} - a_{1}$ по меньшей мере два одинаковых. Действительно, всех чисел $2n + 1$ и каждое из них - положительное целое число, меньшее 2л, поэтому по меньшей мере два из них одинаковые.Среди данных чисел одинаковых нет, нет их и среди образованных разностей, поэтому возможно лишь такое равенство: $a_{k} = a_{j} - a_{1}$, откуда $a_{k} = a_{j} - a_{1}$.
Доказать, что из $n + 1$ разных натуральных чисел, меньших $2n$, можно выбрать три такие, сумма двоих которых равняется третьему числу.
Решение:
Например, среди четырех чисел 1, 2, 4, 5, каждое из которых меньше 6, есть три таких, что 1 + 4 = 5. Разместим данные числа в порядке возрастания и обозначим их так: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n+1}$. Образуем числа $a_{2} - a_{1}; a_{3} - a_{1}; a_{4} - a_{1}; \cdots, a_{n+1} - a_{1}$, где $a_{1}$ - наименьшее из данных чисел. Тогда среди чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, a_{n+1}, a_{2} - a_{1}; \cdots; a_{n + 1} - a_{n+1} - a_{1}$ по меньшей мере два одинаковых. Действительно, всех чисел $2n + 1$ и каждое из них - положительное целое число, меньшее 2л, поэтому по меньшей мере два из них одинаковые.Среди данных чисел одинаковых нет, нет их и среди образованных разностей, поэтому возможно лишь такое равенство: $a_{k} = a_{j} - a_{1}$, откуда $a_{k} = a_{j} - a_{1}$.
