Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13154
2023-07-09 
Доказать, что при всяком целом $n$ число $n^{5} - 5n + 4n$ делится на 120.
Решение:
Имеем $n^{5} - 3n^{3}+ 4n = n(n^{2} - 1)(n^{2} - 4) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)$
Но из пяти последовательных целых чисел одно делится на 5, по крайней мере одно делится на 3 и по крайней мере два на 2, причем из этих двух последних чисел одно делится на 4. Таким образом, произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на $5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 120$.
Доказать, что при всяком целом $n$ число $n^{5} - 5n + 4n$ делится на 120.
Решение:
Имеем $n^{5} - 3n^{3}+ 4n = n(n^{2} - 1)(n^{2} - 4) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)$
Но из пяти последовательных целых чисел одно делится на 5, по крайней мере одно делится на 3 и по крайней мере два на 2, причем из этих двух последних чисел одно делится на 4. Таким образом, произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на $5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 120$.
