Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13126
2023-07-09 
Каждый день на протяжении года ученик решал не меньше одной задачи, при этом каждую неделю он решал не больше 12 задач. Доказать, что найдется несколько последовательных дней, за которые он решил ровно 20 задач.
Решение:
Будем считать, что в году 52 недели. За это время ученик решил не больше 624 задач. Обозначим через $a_{1}$ количество задач, решенных за первый день; через $a_{2}$ - количество задач, решенных за два дня; $a_{3}$ - количество задач, решенных за три дня и т.д. Каждое из чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{364}$ не больше, чем $52 \cdot 12 = 624$. Все эти числа разные. Рассмотрим также 364 таких числа: $a_{1} + 20, a_{2} + 20, a_{3} + 20, \cdots , a_{364} + 20$. Среди этих чисел нет ни одной пары одинаковых, каждое из них меньше 644.
Значит, среди 728 целых положительных чисел, каждое из которых меньше 644, найдется больше, чем одна пара равных. Пусть $a_{k} = a_{i} + 20$, тогда $a_{k} - a_{i} = 20$. А это значит, что за время между «$k$-тым» и «$i$-тым» днями ученик решал ровно 20 задач. Кстати, на протяжении года будет 84 таких промежутка времени, когда ученик решал по 20 задач.
В данной задаче достаточно ограничиться временем, зна-’&тельно меньшим, чем год. Аналогично можно показать, например, что на протяжении 77 дней тоже найдется несколько последовательных дней, в течение которых ученик решит ровно 20 задач.
Каждый день на протяжении года ученик решал не меньше одной задачи, при этом каждую неделю он решал не больше 12 задач. Доказать, что найдется несколько последовательных дней, за которые он решил ровно 20 задач.
Решение:
Будем считать, что в году 52 недели. За это время ученик решил не больше 624 задач. Обозначим через $a_{1}$ количество задач, решенных за первый день; через $a_{2}$ - количество задач, решенных за два дня; $a_{3}$ - количество задач, решенных за три дня и т.д. Каждое из чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{364}$ не больше, чем $52 \cdot 12 = 624$. Все эти числа разные. Рассмотрим также 364 таких числа: $a_{1} + 20, a_{2} + 20, a_{3} + 20, \cdots , a_{364} + 20$. Среди этих чисел нет ни одной пары одинаковых, каждое из них меньше 644.
Значит, среди 728 целых положительных чисел, каждое из которых меньше 644, найдется больше, чем одна пара равных. Пусть $a_{k} = a_{i} + 20$, тогда $a_{k} - a_{i} = 20$. А это значит, что за время между «$k$-тым» и «$i$-тым» днями ученик решал ровно 20 задач. Кстати, на протяжении года будет 84 таких промежутка времени, когда ученик решал по 20 задач.
В данной задаче достаточно ограничиться временем, зна-’&тельно меньшим, чем год. Аналогично можно показать, например, что на протяжении 77 дней тоже найдется несколько последовательных дней, в течение которых ученик решит ровно 20 задач.
