Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13157
2023-07-09 
Доказать, что $n^{7} - n$ делится на 42 при любом натуральном $n$.
Решение:
Сделаем необходимые преобразования
$n^{7} - n = n(n^{6} - 1) = n(n^{3} - 1) (n^{3} + 1) = n(n-1)(n^{2} + n + 1)(n + 1)(n^{2} - n + 1) = (n-1)n(n + 1)(n^{4} + n^{2} - 1)$. (1)
Ясно, что произведение $(n - 1)n(n + 1)$ делится на 6. Осталось показать, что заданное число делится на 7. Это было бы доказано, если бы удалось записать $n^{7} - n$ в виде произведения семи последовательных натуральных чисел. В связи с этим рассмотрим произведение:
$A_{n} = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1 )(n + 2)(n + 3)$. (2)
Три множителя $(n - 1 )n(n + 1)$ имеются в разложении (1). Определим произведение крайних множителей, входящих в выражение (2):
$(n - 3)(n - 2)(n + 2)(n + 3) = (n^{2}- 4)(n^{2}- 9) = n^{4}- 13n^{2} + 36$.
Видно, что число $A_{n} \neq n^{7} - n$, то есть $n^{7} - n$ не может Амть представлено в виде (2).
Но это еще не означает, что число $n^{7} - n$ не делится на 7. Напротив, приведенные выкладки наводят на мысль о сравнении $n^{7} - n$ с делящимся на 7 числом $A_{n}$. Действительно, имеем:
$n^{7} - n = (n - 1)n(n + 1) (n^{4} + n^{2} + 1) = (n - 1)n(n + 1) (n^{4} - 13n^{2} + 36) + (n - 1)n(n + 1) (14n^{2} - 35) = A_{n} + 7(n - 1)n(n + 1)(2n^{2} - 5)$.
откуда непосредственно следует делимость числа $n^{7} - n$ на 7.
Доказать, что $n^{7} - n$ делится на 42 при любом натуральном $n$.
Решение:
Сделаем необходимые преобразования
$n^{7} - n = n(n^{6} - 1) = n(n^{3} - 1) (n^{3} + 1) = n(n-1)(n^{2} + n + 1)(n + 1)(n^{2} - n + 1) = (n-1)n(n + 1)(n^{4} + n^{2} - 1)$. (1)
Ясно, что произведение $(n - 1)n(n + 1)$ делится на 6. Осталось показать, что заданное число делится на 7. Это было бы доказано, если бы удалось записать $n^{7} - n$ в виде произведения семи последовательных натуральных чисел. В связи с этим рассмотрим произведение:
$A_{n} = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1 )(n + 2)(n + 3)$. (2)
Три множителя $(n - 1 )n(n + 1)$ имеются в разложении (1). Определим произведение крайних множителей, входящих в выражение (2):
$(n - 3)(n - 2)(n + 2)(n + 3) = (n^{2}- 4)(n^{2}- 9) = n^{4}- 13n^{2} + 36$.
Видно, что число $A_{n} \neq n^{7} - n$, то есть $n^{7} - n$ не может Амть представлено в виде (2).
Но это еще не означает, что число $n^{7} - n$ не делится на 7. Напротив, приведенные выкладки наводят на мысль о сравнении $n^{7} - n$ с делящимся на 7 числом $A_{n}$. Действительно, имеем:
$n^{7} - n = (n - 1)n(n + 1) (n^{4} + n^{2} + 1) = (n - 1)n(n + 1) (n^{4} - 13n^{2} + 36) + (n - 1)n(n + 1) (14n^{2} - 35) = A_{n} + 7(n - 1)n(n + 1)(2n^{2} - 5)$.
откуда непосредственно следует делимость числа $n^{7} - n$ на 7.
