Покажите, что для любых положительных чисел $p, q,r$ и $s$ дробь
$\frac{(p^{2} + p + 1) (q^{2} + q + 1) (r^{2} + r + 1) (s^{2} + s + 1)}{pqrs}$
не меньше 81.
Подробнее
Найдите остаток от деления $f(x^{5})$ на $f(x)$, если
$f(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$.
Подробнее
Чему равен $n$-й член ряда
$- 4 + 7 - 4 + 7 - 4 + 7 - \cdots$?
Подробнее
Упростите выражение
$\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$.
Подробнее
Некая компания предложила 350 своим служащим выполнить сверхурочную работу, причем каждому мужчине предлагалось в виде вознаграждения 10 долларов, а каждой женщине - 8 долларов 15 центов. Женщины все согласились с этим предложением, а часть мужчин отказалась. При подсчете выяснилось, что общая сумма вознаграждения не зависит от числа служащих-мужчин. Какова сумма вознаграждения, выплаченного всем женщинам?
Подробнее
Упростите следующее произведение:
$(3^{2^{0}} + 1)(3^{2^{1}} + 1)(3^{2^{2}} + 1) \cdots (3^{2^{n}} + 1)$.
Подробнее
Найдите два числа, разность и частное которых были бы равны 5.
Подробнее
Один школьник, проснувшись в конце урока алгебры, услышал лишь обрывок произнесенной учителем фразы: «... скажу только, что все корни действительны и положительны». Взглянув на доску, он увидел там уравнение 20-й степени, заданное на дом, и попытался его быстро записать. Ему удалось выписать только первые два члена $x^{20} - 20 x^{19}$, прежде чем учитель вытер доску; однако он запомнил, что свободный член равнялся +1. Не поможете ли вы нашему незадачливому герою решить это уравнение?
Подробнее
Покажите, что если $a, b, c$ - стороны некоторого треугольника и
$a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$,
то этот треугольник обязательно равносторонний.
Подробнее
Покажите, что
$1110 \cdot 1111 \cdot 1112 \cdot 1113 = (1235431)^{2} - 1$
в любой системе счисления с основанием, большим 5.
Подробнее
Найдите $n$, если
$\frac{1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \cdots +(2n - 1)^{3}}{2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \cdots + (2n)^{3}} = \frac{199}{242}$.
Подробнее
Докажите, что уравнение $x^{2} - 3y^{2} =17$ не имеет решений в целых числах.
Подробнее
Профессор математики выписал на доске многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и сказал:
- Сегодня у моего сына день рождения. Если его возраст $A$ подставить в данный многочлен вместо $x$, то получится равенство $f(A) = A$. Заметьте также, что $f(0) = P$, где $P$ - простое число, большее $A$.
Сколько лет сыну профессора?
Подробнее
Покажите, что если $k$ - произвольное действительное число, то кривая
$x^{4} + kx^{3}y - 6x^{2}y^{2} - kxy^{3} + y^{4} = 0$
делит окружность $x^{2} + y^{2} = 1$ на восемь равных частей.
Подробнее
Найдите арифметическую прогрессию, состоящую из целых чисел, с произвольно большим числом членов, ни один из которых не представляет собой точную $r$-ю степень для $r = 2, 3, \cdots , n$.
Подробнее
