Дана окружность и точка $P$ внутри неё, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке $P$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Подробнее
Прямые, содержащие медианы треугольника $ABC$, вторично пересекают его описанную окружность в точках $A_1, B_1, C_1$. Прямые, проходящие через $A, B, C$ и параллельные противоположным сторонам, пересекают её же в точках $A_2, B_2, C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Подробнее
Может ли развёртка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно резать только по рёбрам)?
Подробнее
На доске был нарисован четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. B нём отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырёхугольник стёрли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Подробнее
Для съёмок футуристического боевика на льду Чудского озера среди прочего инвентаря были привезены кубы разных размеров. Кубы бывают двух видов: цельные дубовые плотностью $\rho_{1} = 700 кг/м^{3}$, и полые, состоящие из 12 массивных труб, образующих его рёбра, и жёстких чётких граней (см. рисунок). Линейная плотность трубы равняется 50 кг/м. Помогите режиссёру определить, какие кубы и каких размеров безопасно ставить па лёд? Лёд пористый, и выдерживает давление в 10 кПа,
Подробнее
В системе, изображенной на рисунке (вид сверху), две одинаковые зубчатые рейки a и b могут двигаться друг относительно друга только оставаясь друг другу параллельными, и расстояние между ними по меняется. Между рейками находится в зацеплении зубчатое колесико (шестерня) G, Рейки лежат иа столе. Шестерня в начальный момент находится ровно посередине между А и В, Точки А и В двигают прямолинейно - как показано па рисунке. Величины скоростей $V_{A} = 2 см/с, V_{B} = 3 см/с$. Найти траекторию центра шестерни,
Подробнее
В большой ёмкости с водой плавает стакан с толстыми стенками, как показано на рисунке, У экспериментатора Пети есть кольца, внешний диаметр которых совпадает с внешним диаметром стакана. Высота одного кольца $l = 2 см$, масса $m = 275 г$. Петя по одному кладёт кольца па стакан, В какой-то момент конструкция утонет. На каком но счёту кольце это случится? Кольца герметично прилегают к стакану и друг к другу; конструкция всегда остаётся вертикальной. Площадь основания стакана $S = 100 см^{2}$, изначально стакан возвышается над водой на $h = 4 см$. Плотность воды $\rho = 1 г/см^{3}$.
Подробнее
Мальчик Сережа решил приготовить себе на обед 15 пельменей. Для этого он налил в кастрюлю воду при температуре $95^{ \circ} С$, поставил ее на плиту, сразу кинув внутрь первую пельмешку. Далее он кидал пельмешки по одной через равные интервалы времени $\tau = 10 с$. Определите, сколько раз в результате такого процесса закипала вода в кастрюле до момента опускания последней пельмешки? Как изменится количество закипаний при других $\tau$? Постройте график для этой зависимости. Теплоемкость воды в кастрюле $8400 Дж/^{ \circ} С$. Все пельмени одинаковые и имеют начальную температуру $0^{ \circ} С$, массу $m = 20 г$ и удельную теплоемкость $3 кДж/кг \cdot ^{ \circ} С$, Мощность плиты постоянна и равна $P = 1500 Вт$, теплопотерями и теплоемкостью кастрюли пренебречь. Считайте, что содержимое кастрюли постоянно перемешивают, и оно быстро приходит в состояние теплового равновесия после добавления очередной пельмешки.
Подробнее
В изображенной па рисунке системе ось левого блока закреплена. Правый блок подвешен к потолку па нити EF и состоит из двух скрепленных между собой блоков. Радиус меньшего из них равен $a = 15 см$, большего - $b =25 см$. Невесомая платформа АС длины $L = 60 см$ подвешена горизонтально на нитях в точках А, В и С, В некоторой точке X па пей лежит массивный груз, размеры которого пренебрежимо малы. Система находится в равновесии, при этом пить EF вертикальна. Найдите АХ - расстояние от груза до левого края платформы. Трение в системе отсутствует, все нити идеальны.
Подробнее
Волк и заяц находятся по разные стороны от лесополосы, но на краю леса находится зеркало (см. рисунок). Волк и заяц одновременно замечают друг друга в зеркале. Волк начинает гнаться за изображением зайца со скоростью $v_{в}$, а заяц начинает убегать от изображения волка со скоростью $v_{з}$. Изначально расстояние между ними $L$, расстояние до зеркала для них одинаково и равно $h$. Определите, какое расстояние успеет пробежать волк, прежде чем уткнется в зеркало.
Подробнее
Любознательный школьник разобрал нагревательный прибор. Оказалось, что схема прибора очень проста (см. рисунок). Школьник вынул все резисторы из схемы и обнаружил, что их сопротивления составляют $R_{1} = 1 Ом, R_{2} = 1 Ом, R_{3} = 2 Ом, R_{4} = 3 Ом, R_{5} = 5 Ом$. Но он забыл, какой резистор на каком месте располагается в схеме. Помогите ему собрать прибор но старой схеме таким образом, чтобы его мощность была максимальной. Нагреватель работает от постоянного напряжения.
Подробнее
Два ящика с песком массами $M$ и $m$ уравновешены с помощью длинных нерастяжимых невесомых нитей и блоков (см. рисунок). Затем в ящике с массой $m$ проделали небольшую дырочку, так что каждую секунду из ящика высыпается 50 грамм песка. Дырочку тут же заметил грузчик Вася и сразу схватил левый ящик, удерживая его на месте. Но через некоторое время Вася устал и отпустил груз. В этот момент левый ящик начал двигаться с ускорением $g/2$. Определите сколько времени грузчик удерживал ящик. Масса $M = 100 кг$.
Подробнее
Мальчик Сережа решил приготовить себе на обед $N$ пельменей. Для этого он налил в кастрюлю воду массой $M_{в}$ и поставил ее на плиту, сразу кинув внутрь первую пельмешку. Далее он кидал пельмешки по одной через равные интервалы времени $\tau$. Определите, сколько раз в результате такого процесса закипала вода в кастрюле и каково общее время кипения воды до момента опускания последней пельмешки. Начальная температура воды $T_{в}$, удельная теплоемкость воды $c_{в}$. Все пельмени одинаковые и имеют начальную температуру $T_{п}$ и теплоемкость $C_{п}$. Мощность плиты постоянна и равна $P$, теплопотерями и теплоемкостью кастрюли пренебречь. Считайте, что содержимое кастрюли постоянно перемешивают, и оно быстро приходит в состояние теплового равновесия после добавления очередной пельмешки.
Подробнее
Мальчик Илья играет в хитрый гольф. Ему необходимо попасть в лунку, помеченную флажком так, чтобы мяч отскочил от очень массивной стенки и не коснулся во время своего движения земли. Стенка приближается к Илье с постоянной скоростью $u$. Илья бьет по мячу так, что начальная вертикальная составляющая скорости мяча равна $v_{в}$. Определите, под каким углом должен изначально полететь мяч, чтобы он попал в лунку и все правила игры были выполнены. В момент удара по мячу расстояние от стенки до Ильи $L_{1}$, от Ильи до лунки $L_{2}$.
Подробнее
Частица движется вдоль прямой. На ее пути на равных расстояниях $L$ друг от друга располагаются ловушки. Между ловушками частица разгоняется с постоянным ускорением $a$. Попадая в ловушку, частица мгновенно останавливается, после чего сразу же начинает новый разгон. Определите среднюю скорость частицы за время много большее времени движения между ловушками. Постройте график зависимости средней скорости от величины ускорения $a$.
Подробнее