2019-02-12
Мальчик Сережа решил приготовить себе на обед 15 пельменей. Для этого он налил в кастрюлю воду при температуре $95^{ \circ} С$, поставил ее на плиту, сразу кинув внутрь первую пельмешку. Далее он кидал пельмешки по одной через равные интервалы времени $\tau = 10 с$. Определите, сколько раз в результате такого процесса закипала вода в кастрюле до момента опускания последней пельмешки? Как изменится количество закипаний при других $\tau$? Постройте график для этой зависимости. Теплоемкость воды в кастрюле $8400 Дж/^{ \circ} С$. Все пельмени одинаковые и имеют начальную температуру $0^{ \circ} С$, массу $m = 20 г$ и удельную теплоемкость $3 кДж/кг \cdot ^{ \circ} С$, Мощность плиты постоянна и равна $P = 1500 Вт$, теплопотерями и теплоемкостью кастрюли пренебречь. Считайте, что содержимое кастрюли постоянно перемешивают, и оно быстро приходит в состояние теплового равновесия после добавления очередной пельмешки.
Решение:
Рассмотрим следующую величину: количество теплоты, которое нужно сообщить системе, чтобы нагреть её до $T = 100^{ \circ} С$, т.е. довести воду в ней до кипения. Назовём эту величину $Q_{-}$. В начальный момент, когда система состоит только из воды, $Q_{-0} = (100 - 95) \cdot 8400 = 42 кДж$. Каждый пельмень, который докидывают в кастрюлю, увеличивает $Q_{-}$ на $E_{п} = 0,02 \cdot 3 \cdot 100 = 6 кДж$. (Т.к. теперь нам нужно нагреть до $100^{ \circ} C$ целый лишний пельмень, а на его нагревание должно уйти ровно столько теплоты). При этом за период времени длины $\tau$ (от закидывания одного пельменя до закидывания следующего) в систему от плиты поступает энергия $E_{+} = P \tau$. Ясно, что для того, чтобы у воды вообще были шансы закипеть, $E_{+}$ должна быть больше 6 кДж. Также заметим следующее: если между закидыванием каких-то двух пельменей вода закипела, то между закидыванием следующих она также закипит. Действительно: если она закипела, то во-первых $E_{+} > 6 кДж$, а во-вторых, в момент закипания $Q_{-}$ станет равной нулю. Тогда в момент закидывания следующего пельменя $Q_{-}$ станет равной 6 кДж. Но $E_{+} > 6 кДж$, т.е. плита за следующий промежуток времени сумеет передать достаточное количество теплоты, следовательно, момент кипения настанет вновь.
Таким образом, осталось лишь определить первый момент, в который закипит вода. Ответим сначала на вопрос задачи при $\tau = 10 с$. Тогда $E_{+} = 15 кДж$. В конце 4го промежутка времени $\tau$ (прямо перед закидыванием пятой пельмешки) $Q_{-} = 42 + 4 \cdot 6 - 4 \cdot 15 = 6 кДж$, т.е. вода ещё не закипала. Но за пятый промежуток времени $Q_{-}$ увеличится на 6 кДж за счёт закидывания следующей пельмешки, и должна уменьшится на 15 кДж за счёт энергии от плиты. Но здесь-то наша величина $Q_{-}$ и обнулится, а значит, на пятом промежутке времени вода впервые и закипит. Таким образом, всего вода в кастрюле закипит 10 раз (после ой, 6й, ... 14й пельмешек).
Ответ: При $\tau = 10 с$ вода в кастрюле закипит 10 раз.