2019-02-12
Частица движется вдоль прямой. На ее пути на равных расстояниях $L$ друг от друга располагаются ловушки. Между ловушками частица разгоняется с постоянным ускорением $a$. Попадая в ловушку, частица мгновенно останавливается, после чего сразу же начинает новый разгон. Определите среднюю скорость частицы за время много большее времени движения между ловушками. Постройте график зависимости средней скорости от величины ускорения $a$.
Решение:
Средняя скорость, по определению, есть отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.
Определим, за какое время $\tau$ частица перемещается от одной ловушки до другой:
$L = \frac{a \tau^{2} }{2} \Leftrightarrow \tau = \sqrt{ \frac{2L}{a} }$.
Следовательно, средняя скорость движения частицы между двумя соседними ловушками равна
$v_{cp1} = \frac{L}{ \tau} = \frac{L}{ \sqrt{2L/a } } = \sqrt{ \frac{La}{2} }$.
Заметим, что, поскольку после попадания в ловушку скорость частицы каждый раз обнуляется, ее движение между любыми двумя соседними ловушками происходит все время одинаково. Если рассчитывать среднюю скорость частицы за время $T$, сравнимое по величине с временем ее движения между ловушками $\tau$, то ответ, очевидно, будет зависеть от $T$ или, что тоже самое, от того, где именно находится в данный момент частица. Ясно также, что для времен $T = n \tau$ ($n$ - натуральное число) средняя скорость всегда будет равна $v_{cp1}$, так как в данном случае пройденный частицей путь будет равен $S = nL$, и
$v_{cpn} = \frac{nL}{n \tau} = \frac{L}{ \tau} = v_{cp1}$.
За "промежуточные" времена $T$, когда $T \in ( n \tau, (n + 1) \tau)$, значение средней скорости будет отличаться от $v_{ср1}$, так как частица все же двигается неравномерно. Однако, ясно, что, чем больше отношение $T/ \tau$, тем меньше величина средней скорости частицы за время $T$ будет отличается от $v_{ср1}$. Действительно, пусть за время $T$ частица прошла путь $S$, тогда эти величины можно представить в виде
$S = nL + s, T = n \tau + t$,
где $s < L$ и $t < \tau$. Тогда средняя скорость за время $T$ равна
$v_{срT} = \frac{S}{T} = \frac{nL + s}{n \tau + t} = \frac{nL}{n \tau} \frac{1 + \frac{s}{nL} }{1 + \frac{t}{n \tau} } = v_{ср1} \frac{1 + \frac{s}{L} \frac{1}{n} }{1 + \frac{t}{ \tau} \frac{1}{n} } \approx v_{ср1} \left (1 + \left ( \frac{s}{L} - \frac{t}{ \tau} \right ) \frac{1}{n} \right ) + \cdots$ (1)
При увеличении $n$ последняя дробь в (1) все меньше отличается от единицы. Поэтому очевидно, что искомая средняя скорость частицы за время много большее времени ее движения между ловушками попросту совпадает со средней скоростью движения частицы от ловушки до ловушки $v_{ср1}$.
Остается только нарисовать график зависимости средней скорости от величины ускорения $a$. Соответствующий график представлен на рисунке.
Ответ: Средняя скорость равна $\sqrt{La/2}$. График представлен на рисунке