2019-02-08
На доске был нарисован четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. B нём отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырёхугольник стёрли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Решение:
Построение основано на двух леммах.
Лемма 1. Диагонали всех четырёхугольников, вписанных в данную окружность с центром $O$ и описанных около данной окружности с центром $I$, пересекаются в одной и той же точке $L$, лежащей на продолжении отрезка $OI$ за точку $I$.
Лемма 2. Центр вписанной в четырёхугольник окружности лежит на прямой, соединяющей середины его диагоналей (Теорема Монжа).
Отметим также, что в любом четырёхугольнике точка $M$ пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам отрезок между серединами диагоналей.
Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырёхугольника лежат на окружности с диаметром $OL$. Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка $M$ лежит на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются $I$ и середина $OL$. Поэтому, проведя через $M$ прямую, перпендикулярную $IM$, и найдя точку её пересечения с $OI$, мы получим середину $OL$, а значит, и саму точку $L$. Далее, построив окружность с диаметром $OL$ и найдя её точки пересечения с прямой $MI$, получим середины диагоналей четырёхугольника. Kроме того, рассмотрев четырёхугольник, две вершины которого лежат на прямой $OI$, нетрудно убедиться, что для третьей вершины $X XI$ - биссектриса \angle OXL$ (рис.). Это даёт возможность восстановить описанную окружность четырёхугольника и найти его вершины как точки пересечения этой окружности с диагоналями.