Даны четыре конуса с общей вершиной и образующей одинаковой длины (но, возможно, с разными радиусами оснований). Каждый из них касается двух других. Докажите, что четыре точки касания окружностей оснований конусов лежат на одной окружности.
Подробнее
Bпишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.
Подробнее
При каком наименьшем $n$ существует $n$-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырёхугольник, $\cdots$, 2006-угольник?
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$. Две окружности с центрами в вершинах $A$ и $C$ проходят через $D$. Прямая $l$ проходит через $D$ и вторично пересекает окружности в точках $X, Y$. Докажите, что $BX = BY$.
Подробнее
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей, $X, Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA, PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Подробнее
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ - какой-нибудь стороне?
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ и точка $P$ внутри него. $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - проекции $P$ на прямые $BC, CA, AB$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, лежит внутри треугольника $ABC$.
Подробнее
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Подробнее
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Подробнее
Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке $AA_1$ взята точка $A$ такая, что
$\frac{AA^{\prime}}{A_1A^{\prime}} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
Аналогично строим $B^{\prime}$ и $C$. Докажите, что $A^{\prime}, B^{\prime}$ и $C$ лежат на одной прямой.
Подробнее
B невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо 90, либо 270 градусов. Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?
Подробнее
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника $ABC$, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Ответ. 1:1.
Подробнее
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ - ортоцентры треугольников $BCD, CDA, DAB, ABC$. Докажите, что в четырёхугольниках $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.
Подробнее
Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причем на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.
Подробнее
Проекции точки $X$ на стороны четырёхугольника $ABCD$ лежат на одной окружности. $Y$ - точка, симметричная $X$ относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки $B$ на прямые $AX, XC, CY, YA$ также лежат на одной окружности.
Подробнее