2019-02-12
Любознательный школьник разобрал нагревательный прибор. Оказалось, что схема прибора очень проста (см. рисунок). Школьник вынул все резисторы из схемы и обнаружил, что их сопротивления составляют $R_{1} = 1 Ом, R_{2} = 1 Ом, R_{3} = 2 Ом, R_{4} = 3 Ом, R_{5} = 5 Ом$. Но он забыл, какой резистор на каком месте располагается в схеме. Помогите ему собрать прибор но старой схеме таким образом, чтобы его мощность была максимальной. Нагреватель работает от постоянного напряжения.
Решение:
Мощность нагревательного прибора можно рассчитать по известной формуле: $P = IU$, где $I$ - ток, который течет через нагреватель, a $U$ - приложенное к нему напряжение. По закону Ома ток через нагреватель связан с напряжением так: $I = U/R_{0}$, где $R_{0}$ - сопротивление схемы нагревателя. Подставим ток из закона Ома в выражение для мощности:
$P = \frac{U^{2} }{R_{0} }$,
Очевидно, что мощность прибора будет максимальной, когда максимально обратное сопротивление $1/R_{0}$ схемы нагревателя.
Остается понять, как нужно расставить имеющиеся сопротивления в схеме, чтобы получить максимальное значение $1/R_{0}$. Обозначим сопротивления элементов, занимающих соответствующие позиции, через $r_{1,2, \cdots}$ (см. рис. 2).
Сопротивления $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ соединены друг с другом последовательно, поэтому сопротивление участка AB равно $r_{AB} = r_{1} + r_{2} + r_{3}$. Сопротивления $r_{4}$ и $r_{5}$ так же соединены последовательно, тогда для участка CD получаем сопротивление $r_{CD} = r_{4} + r_{5}$. Участки цепи AB ш CD соединены параллельно, таким образом для полного сопротивления сопротивления цепи верно следующее:
$\frac{1}{R_{0} } = \frac{1}{r_{1} + r_{2} + r_{3} } + \frac{1}{r_{4} + r_{5} }$. (1)
Осталось найти какое расположение сопротивлений обеспечивает максимальное значение обратимого сопротивления. Заметим, что перестановка резисторов $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ на участке AB не влияет на ответ, так же как и перестановка $r_{4}$ и $r_{5}$ на участ ке CD. Ответ можно найти при помощи перебора возможных вариантов, или получить алгебраически, для этого приведем к общему знаменателю выражение (1):
$\frac{1}{R_{0}} = \frac{r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} }{(r_{1} + r_{2} + r_{3} )(r_{4} + r_{5} )}$. (2)
Заметим, что
$r_{1} + r_{2} + r_{3} = r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} - ( r_{4} + r_{5})$,
a $r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} = 12 Ом$ по условию задачи. Тогда если мы введем обозначение $X = r_{4} + r_{5}$ то выражение (2) примет вид:
$\frac{1}{R_{0} } = \frac{12 Ом}{(12 Ом - X)X}$. (3)
Понятно, что максимальное значение $1/ R_{0}$ соответствует минимальному значению знаменателя $(12 - X)X$ из (3). Раскрывая скобки видим, что знаменатель, как функция $X$ - это парабола с направленными вниз ветвями $12X - X^{2}$. Свой максимум эта парабола достигает в точке $X_{0} = 12/2$. Ясно, что минимальное значение знаменателя в нашем случае будет для $X = r^{4} + r^{5}$ наиболее отстоящего от $X_{0}$. Не сложно видеть, что это достигается когда сопротивления $r_{4}$ и $r_{5}$ равны 1 Ом.
Ответ: Для максимальной мощности на участке AB должны стоять сопротивления в 2 Ом, 3 Ом и 5 Ом, а оба сопротивления на участке CD - равны 1 Ом.