2019-02-12
Мальчик Сережа решил приготовить себе на обед $N$ пельменей. Для этого он налил в кастрюлю воду массой $M_{в}$ и поставил ее на плиту, сразу кинув внутрь первую пельмешку. Далее он кидал пельмешки по одной через равные интервалы времени $\tau$. Определите, сколько раз в результате такого процесса закипала вода в кастрюле и каково общее время кипения воды до момента опускания последней пельмешки. Начальная температура воды $T_{в}$, удельная теплоемкость воды $c_{в}$. Все пельмени одинаковые и имеют начальную температуру $T_{п}$ и теплоемкость $C_{п}$. Мощность плиты постоянна и равна $P$, теплопотерями и теплоемкостью кастрюли пренебречь. Считайте, что содержимое кастрюли постоянно перемешивают, и оно быстро приходит в состояние теплового равновесия после добавления очередной пельмешки.
Решение:
Рассмотрим ситуацию, когда мы добавляем пельмешки уже после того, как вода в первый раз закипела. Ясно, что при добавлении очередной охлажденной пельмешки в кипящую кастрюлю, система быстро приходит к тепловому равновесию и кипение прекращается. Обозначим за $\Delta t$ время, кипения воды в промежутке между закидыванием пельмешек. Понятно, что для восстановления кипения после добавления новой пельмешки требуется время равное $\tau - \Delta t$. В течении этого процесса начальная и конечная температуры всего содержимого кастрюли, кроме новой пельмешки, одинаковые ($T_{k} = 100^{ \circ} C$). Значит, можно считать что вся теплота, переданная за это время плиткой пошла на разогрев новой пельмешки до температуры кипения воды. Тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид:
$C_{п} (T_{k} - T_{п})= P( \tau - \Delta t)$,
Так как ответ не зависит от количества пельменей в кастрюле, то понятно, что если хоть раз вода закипела, то она будет вскипать после добавления всех последующих пельменей. Из полученного уравнения можно выразить $\Delta t$:
$\Delta t = \frac{1}{P} (P \tau - C_{п}(T_{k} - T_{п}))$. (1)
Обозначим время кипения после первого закипания кастрюли за $\Delta t_{1}$. Если вода всего в процессе закипала $n_{k}$ раз, то в наших обозначениях общее время кипения $t_{k}$ запишется так:
$t_{k} = \Delta t_{1} + (n_{k} - 1) \Delta t$.
Понятно, что $\Delta t_{1} \leq \Delta t$, потому что часть теплоты, переданная плиткой могла уйти на разогрев до $T_{k}$ не только новой пельмешки, но и остальных ингредиентов кастрюли. Тогда можно выразить количество закипаний так:
$n_{k} = целая \: часть \left [ \frac{t_{k} }{ \Delta t} \right ] + 1$. (2)
По условию задачи до момента опускания последней пельмешки прошло время равное $t = (N - 1 ) \tau$. Тогда обозначим общую теплоту, потраченную на кипение воды с начала процесса $Q_{A}$. К моменту опускания последней пельмешки вся вода была нагрета до $T_{k}$ (та часть, которая испарилась при кипении так же была сначала нагрета до $T_{k}$), на это ушла теплота $Q_{B} = C_{B}(T_{k} - T_{B})$. Кроме того $N - 1$ пельменей тоже оказались нагреты до $T_{k}$, на что ушла теплота $Q_{п} = (N - 1)С_{п} (T_{k} - T_{п})$ Тогда уравнение теплового баланса для всего процесса запишется как:
$Q_{B} + Q_{п} + Q_{A} = Pt$. (3)
Так как температура системы при кипении воды не меняется, то вся теплота от плитки при этом идет на кипение воды:
$Q_{A} = Pt_{k}$.
Подставляя в (3) выражения для теплот получаем:
$c_{B}M_{B} (T_{k} - T_{B}) + (N - 1)C_{п} (T_{k} - T_{п}) + Pt_{k} = P(N - 1) \tau$. (4)
Остается выразить $t_{k}$. После не сложных упрощений получаем что общее время кипения воды:
$t_{k} = \frac{1}{P} ((V - 1)(P \tau - C_{п}(T_{k} - T_{п}))- c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B}))$. (5)
Для того чтобы найти $n_{k}$ по формуле (5) рассчитаем отношение $t_{k}/ \Delta t$ используя выражения (5) и (1):
$\frac{t_{k}}{ \Delta t} = N - 1 - \frac{c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B} ) }{P \tau - C_{п}(T_{k} - T_{п} ) }$. (6)
И теперь сопоставляя (2) и (6) получаем ответ:
$n_{k} = N - 1 - \: целая \: часть \: \left [ \frac{c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B} ) }{P \tau - C_{п}(T_{k} - T_{п} ) } \right ]$. (7)
Стоит отметить, что мощности плитки может не хватить для того чтобы кастрюля хоть раз вскипела. Эту минимальную мощность можно получить из соотношении (4) положив в нем $t_{k} = 0$. Таким образом мы получаем, что кастрюля ни разу не вскипит если выполнено следующее неравенство:
$P \leq \frac{C_{п} }{ \tau} (T_{k} - T_{п}) + \frac{c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B} ) }{(N - 1) \tau}$.
Ответ: Всего с начала процесса и до опускания последней пельмешки вода будет кипеть в течении времени $t_{k} = \frac{1}{P} ((V - 1)(P \tau - C_{п}(T_{k} - T_{п}))- c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B}))$. При этом она будет закипать $n_{k} = N - 1 - \: целая \: часть \: \left [ \frac{c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B} ) }{P \tau - C_{п}(T_{k} - T_{п} ) } \right ]$. раз. Ни разу вода не вскипит при $P \leq \frac{C_{п} }{ \tau} (T_{k} - T_{п}) + \frac{c_{B}M_{B}(T_{k} - T_{B} ) }{(N - 1) \tau}$.