2019-02-12
Два ящика с песком массами $M$ и $m$ уравновешены с помощью длинных нерастяжимых невесомых нитей и блоков (см. рисунок). Затем в ящике с массой $m$ проделали небольшую дырочку, так что каждую секунду из ящика высыпается 50 грамм песка. Дырочку тут же заметил грузчик Вася и сразу схватил левый ящик, удерживая его на месте. Но через некоторое время Вася устал и отпустил груз. В этот момент левый ящик начал двигаться с ускорением $g/2$. Определите сколько времени грузчик удерживал ящик. Масса $M = 100 кг$.
Решение:
Для начала рассмотрим ситуацию, когда ящики находились в равновесии. В этом случае действующие на правый блок силы должны компенсировать друг друга. Поэтому сила натяжения нижней нити в 2 раза больше силы натяжения нити верхней $T$.
Теперь найдем массу m. Поскольку изначально ящики были уравновешены, то силы, действующие на них скомпенсированы:
$T = mg$;
$2T = Mg$.
Откуда мы получаем, что $m = M/2$.
Если правый груз опускается вниз на расстояние $h$, то левый груз должен подняться на высоту $2h$, т.к. нить, к которой привязан левый груз, нерастяжима. Отсюда мы получаем, что если ускорение правого груза составляет $a$, то ускорение левого груза составляет $2a$. То есть по модулю ускорение правого груза всегда в 2 раза меньше чем у левого.
Будем считать, что к моменту, когда Вася отпустил груз из левого ящика успело высыпаться $\Delta m$ песка. Пусть в это время ускорение правого ящика равнялось $a$. Тогда, Второй закон Ньютона для грузов в этот момент дает:
$\begin{cases} (m - \Delta m)2a = T - (m - \Delta m)g \\ Ma = Mg - 2T \end{cases}$
По условию Вася выпустил груз, когда ускорение левого ящика равнялось $g/2$, следовательно ускорение правого груза тогда было равно $a = g/4$. Второй закон Ньютона, тогда, дает:
$\begin{cases} (m - \Delta m) \frac{g}{2} = T - (m - \Delta m)g \\ \frac{Mg}{4} = Mg - 2T \end{cases}$
Из этой системы получается, что $(m - \Delta m) = M/4$. Учитывая, что $m = M/2$, получаем $\Delta m = M/4$. Подставляя числа получаем $\Delta m = 25кг$.
Теперь можно найти сколько времени Вася удерживал ящик:
$t = \frac{25 кг}{50 г/с} = 500 с = 8 мин 20 с$
Ответ: Вася удерживал груз 8 мин 20 с