2019-02-12
Мальчик Илья играет в хитрый гольф. Ему необходимо попасть в лунку, помеченную флажком так, чтобы мяч отскочил от очень массивной стенки и не коснулся во время своего движения земли. Стенка приближается к Илье с постоянной скоростью $u$. Илья бьет по мячу так, что начальная вертикальная составляющая скорости мяча равна $v_{в}$. Определите, под каким углом должен изначально полететь мяч, чтобы он попал в лунку и все правила игры были выполнены. В момент удара по мячу расстояние от стенки до Ильи $L_{1}$, от Ильи до лунки $L_{2}$.
Решение:
Тангенс угла, под которым летит мяч равен отношению вертикальной составляющей скорости к горизонтальной $tg \alpha = v_{г}/v_{в}$. По условию задачи начальная вертикальная скорость $v_{в}$ дана. Таким образом, чтобы найти тангенс (а затем и сам угол) в начальный момент времени достаточно найти начальную горизонтальную скорость $v_{г}$.
Перейдем в систему отсчета, двигающуюся с постоянной скоростью $\vec{u}$, в которой стенка неподвижна ($\vec{u}^{ \prime} = 0$). Тогда лунка будет двигаться к ней с о скоростью $- \vec{u}$, а у мяча появится добавка к горизонтальной составляющей скорости в направлении к стенке $v_{г}^{ \prime} = v_{г} + u$. В этой системе отсчета мяч абсолютно упруго ударяется о неподвижную стенку. При таком ударе его скорость по вертикали не изменяется, а по горизонтали меняет направление (см. рис.). Так как вертикальная составляющая скорости при столкновении со стенкой не изменилась, то мы можем посчитать полное время полета мячика до попадания в лунку, просто как для тела движущегося с ускорением свободного падения:
$OY: 0 = v_{в}t_{k} - \frac{g}{2} t_{k}^{2}$,
откуда не сложно выразить время:
$t_{k} = \frac{2v_{в} }{g}$. (1)
В нашей системе отчета по горизонтали мячик двигается равномерно и проходит сначала расстояние $L_{1}$ до стенки с постоянной горизонтальной скоростью $v_{г}^{ \prime}$. После удара, он летит в обратном направлении с горизонтальной скоростью по модулю равной так же $v_{г}^{ \prime}$, и проходит расстояние до лунки $X$ (см. рис.). Тогда за время своего полета $t_{k}$ мячик попадет в лунку если выполнено:
$L_{1} + X = v_{г}^{ \prime}t_{k}$. (2)
В рассматриваемой системе отсчета стенка покоится, а лунка двигается с постоянной скоростью $u$ к ней навстречу. Изначально расстояние между ними равно $L_{1} + L_{2}$, не сложно видеть, что за время полета мячика лунка сместилась на расстояние $L_{1} + L_{2} - X$ (см. рис. ). Тогда из уравнения равномерного движения для лунки можно выразить $X$:
$L_{1} + L_{2} - X = ut_{k}$, (3)
$X = L_{1} + L_{2} - ut_{k}$.
Подставим полученное для $X$ выражение в (2):
$L_{1} + L_{1} + L_{2} - ut_{k} = v_{г}^{ \prime}t_{k}$. (4)
Вспомним, как связаны горизонтальные составляющие скорости мячика в движущейся и неподвижной системах отчета: $v_{г}^{ \prime} = v_{г} + u$. Подставим это соотношение, а так же найденное время $t_{k}$ (1) в (4):
$2L_{1} + L_{2} - u \frac{2v_{в} }{g} = (v_{г} + u) \frac{2v_{в} }{g}$,
откуда при помощи не сложных преобразований получаем выражение:
$v_{г} = \frac{g}{2v_{в}} (2L_{1} + L_{2}) - 2u$. (5)
Теперь можно получить тангенс искомого угла $\alpha$:
$tg \alpha = \frac{v_{в} }{ \frac{g}{2v_{в} } (2L_{1} + L_{2} ) - 2u }$.
Тогда искомый угол выражается так:
$\alpha = arctg \left ( \frac{2v_{в}^{2} }{g(2L_{1} + L_{2} ) - 2uv_{в} } \right )$
Ответ: Чтобы мячик попал в лунку отскочив от стенки и не коснувшись земли, Илья должен запустить его под углом $\alpha = arctg \left ( \frac{2v_{в}^{2} }{g(2L_{1} + L_{2} ) - 2uv_{в} } \right )$