2019-02-12
В системе, изображенной на рисунке (вид сверху), две одинаковые зубчатые рейки a и b могут двигаться друг относительно друга только оставаясь друг другу параллельными, и расстояние между ними по меняется. Между рейками находится в зацеплении зубчатое колесико (шестерня) G, Рейки лежат иа столе. Шестерня в начальный момент находится ровно посередине между А и В, Точки А и В двигают прямолинейно - как показано па рисунке. Величины скоростей $V_{A} = 2 см/с, V_{B} = 3 см/с$. Найти траекторию центра шестерни,
Решение:
В случае, когда центр шестерни (обозначим его О) неподвижен, он всегда будет оставаться центром отрезка АВ - это видно из симметрии системы. Также это можно понять из того, что рейка а смещается на столько же зубцов, что и рейка Ь. Аналогичный вывод верен и при движении точки О: для наблюдателя, всегда находящегося над точкой О, всё будет выглядеть точно так же, как описано в предыдущем пункте.
Таким образом, забываем теперь о рейках и шестерне, и можем думать о задаче в упрощенном виде: точка О - всегда середина отрезка АВ, хотя длина последнего может меняться. По условию один конец этого отрезка движется по горизонтальной прямой - обозначим ее m, другой по вертикальной (на рисунке) прямой - обозначим ее n.
Выберем оси координат совпадающими с прямыми m и n. Заметим: О - центр АВ, следовательно, и по каждой из осей О находится посередине между А и В. Но по каждой из выбранных нами осей один из концов АВ не меняет положения, а значит О движется с половинной скоростью другого конца. Таким образом, О будет двигаться по прямой, и её горизонтальная скорость будет равняться $V_{a}/2$, а вертикальная - $V_{b}/2$.