Покажите, что при любом целом $x$ число
$x^{9} - 6x^{7} + 9x^{5} - 4x^{З}$
делится на 8640.
Подробнее
Некое число, которое записывается с помощью менее чем 30 цифр, начинается (если двигаться слева направо) с цифр 15, то есть имеет вид 15 ... Если мы умножим его на 5, то результат можно получить, просто передвинув эти две цифры на правый конец; в итоге получится число вида ... 15. Найдите исходное число.
Подробнее
Некий тюремщик, осуществляя частичную амнистию, поступил следующим образом. Сначала он открыл все камеры. Затем запер каждую вторую камеру (в этой тюрьме все камеры были расположены в один ряд). На третьем этапе он повернул ключ в каждой третьей камере (при очередном повороте ключа открытая камера запирается, а закрытая отпирается). Продолжая действовать подобным образом, тюремщик на $n$-м этапе поворачивал ключ в каждой $n$-й камере. Закончив на этом, он выпустил всех заключенных, которые оказались в открытых камерах. Укажите номера камер, в которых сидели эти счастливчики.
Подробнее
Докажите, что существует только одно множество из трех различных положительных целых чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, и обладающих тем свойством, что сумма любых двух таких чисел делится на третье число.
Подробнее
Пусть $a, b, c$ - целые числа, не имеющие общего делителя, отличного от 1, и пусть $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$. Покажите, что числа $(a + b), (a - c)$ и $(b - c)$ представляют собой точные квадраты.
Подробнее
Некоторое число представляет собой произведение трех простых сомножителей, сумма квадратов которых равна 2331. Существует 7560 чисел (включая 1), меньших данного н взаимно простых с ним. Сумма всех делителей данного числа (включая 1 и само число) равна 10560. Найдите это число.
Подробнее
Докажите, что любое положительное рациональное число можно представить в виде конечной суммы различных членов гармонического ряда $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots$
Подробнее
Мы определяем пандиагональный гетероквадрат как такое расположение первых $n^{2}$ положительных целых чисел в виде квадрата, при котором никакие две суммы чисел, расположенных вдоль любой строки, столбца или диагонали (прямой или ломаной), между собой не совпадают. Существует ли такое $n$, при котором эти $4n$ сумм совпадают с последовательными целыми числами?
Подробнее
Паскаль расположил биномиальные коэффициенты в виде следующей таблицы (треугольника Паскаля):
$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3&6 & 10 & 15 & 21 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 \\ 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & 252 \end{matrix}$
$\cdots$
Докажите, что если мы вырежем из этой бесконечной таблицы квадрат любого размера, первая строка (или столбец) которого будет расположена на первой строке (столбце) данной таблицы, то определитель любого такого квадрата будет равен 1.
Подробнее
Решите следующую систему уравнений:
$\begin{cases} x+y+z=6 \\ xy + yz + zx=11 \\ xyz = 6 \end{cases}$
Подробнее
Недавно профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо ходил буквально надутым от гордости, поскольку ему удалось угадать корень уравнения четвертой степени, которое получалось после освобождения от радикалов в уравнении
$x = \left (x - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} } + \left ( 1 - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} }$.
Посрамите профессора и решите данное уравнение, пользуясь уравнениями не выше второй степени.
Подробнее
Какая из двух величин больше: $\sqrt[8]{8}!$ или $\sqrt[9]{9}!$?
Подробнее
Докажем, что выражение
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не будет целым ни при каком $n > 1$.
Подробнее
Покажите, что не существует трех последовательных нечетных чисел, каждое из которых представляло бы собой сумму двух квадратов, отличных от нуля.
Подробнее
Покажите, что целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
Подробнее
