Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13289
2023-08-14 
Покажите, что целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
Решение:
Любое число в системе счисления с основанием $r$, представимо в виде $a_{0}r^{n} + a_{1}r^{n-1} + \cdots + a_{n}r^{0}$. Если в произведении нескольких целых чисел хотя бы один из сомножителей четен, то и все произведение четно; в противном случае оно нечетно. Далее, если $r$ нечетно, то и $r^{k}$ нечетно; поэтому четность каждого из слагаемых $a_{k}r^{k}$ нашей суммы совпадает с четностью соответствующего $a_{k}$. Если мы сложим любое количество четных слагаемых или четное число нечетных слагаемых, то сумма окажется четной. Если же мы сложим четные числа с нечетным или возьмем нечетное число нечетных слагаемых, то сумма будет нечетной. Следовательно, целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
Покажите, что целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
Решение:
Любое число в системе счисления с основанием $r$, представимо в виде $a_{0}r^{n} + a_{1}r^{n-1} + \cdots + a_{n}r^{0}$. Если в произведении нескольких целых чисел хотя бы один из сомножителей четен, то и все произведение четно; в противном случае оно нечетно. Далее, если $r$ нечетно, то и $r^{k}$ нечетно; поэтому четность каждого из слагаемых $a_{k}r^{k}$ нашей суммы совпадает с четностью соответствующего $a_{k}$. Если мы сложим любое количество четных слагаемых или четное число нечетных слагаемых, то сумма окажется четной. Если же мы сложим четные числа с нечетным или возьмем нечетное число нечетных слагаемых, то сумма будет нечетной. Следовательно, целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
