Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13265
2023-08-14 
Докажите, что любое положительное рациональное число можно представить в виде конечной суммы различных членов гармонического ряда $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots$
Решение:
Пусть $\frac{a}{b}$ - рациональное число. Тогда его можно представить как сумму $a$ повторяющихся членов гармонического ряда
$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \cdots + \frac{1}{b}$.
Оставим первое слагаемое неизменным, а остальные $(a - 1)$ слагаемых преобразуем с помощью тождества
$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n + 1)}$.
Далее еще раз применим к повторяющимся слагаемым данное тождество и будем продолжать этот процесс до тех пор. пока все члены суммы не станут различными.
Докажите, что любое положительное рациональное число можно представить в виде конечной суммы различных членов гармонического ряда $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots$
Решение:
Пусть $\frac{a}{b}$ - рациональное число. Тогда его можно представить как сумму $a$ повторяющихся членов гармонического ряда
$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \cdots + \frac{1}{b}$.
Оставим первое слагаемое неизменным, а остальные $(a - 1)$ слагаемых преобразуем с помощью тождества
$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n + 1)}$.
Далее еще раз применим к повторяющимся слагаемым данное тождество и будем продолжать этот процесс до тех пор. пока все члены суммы не станут различными.
