Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13261
2023-08-14 
Пусть $a, b, c$ - целые числа, не имеющие общего делителя, отличного от 1, и пусть $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$. Покажите, что числа $(a + b), (a - c)$ и $(b - c)$ представляют собой точные квадраты.
Решение:
Если $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$, то $a + b = \frac{ab}{c}$. Поскольку $a$ и $b$ - целые числа, то $c$ распадается в произведение, скажем, $c = qr$, где один сомножитель делит а, а другой делит $b$, так что $a = mq, b = pr$. Поэтому $mq + pr = mqpr : qr = mp$. Поскольку у всех трех чисел $a, b, c$ нет общего делителя, отличного от 1, $m$ взаимно просто с $r$ (значит, оно делит $p$), а $p$ взаимно просто с $q$ (значит, оно делит $m$). Следовательно, $m = p$, откуда $p(q+r)= p^{2}$ и $q + r= p$. Отсюда вытекает, что
$a + b = pq + pr = p(q + r) = p^{2}$,
$a - c = pq - qr = q(p-r) = q^{2}$
и $b - c = pr - qr = r(p - q) = r^{2}$.
Пусть $a, b, c$ - целые числа, не имеющие общего делителя, отличного от 1, и пусть $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$. Покажите, что числа $(a + b), (a - c)$ и $(b - c)$ представляют собой точные квадраты.
Решение:
Если $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$, то $a + b = \frac{ab}{c}$. Поскольку $a$ и $b$ - целые числа, то $c$ распадается в произведение, скажем, $c = qr$, где один сомножитель делит а, а другой делит $b$, так что $a = mq, b = pr$. Поэтому $mq + pr = mqpr : qr = mp$. Поскольку у всех трех чисел $a, b, c$ нет общего делителя, отличного от 1, $m$ взаимно просто с $r$ (значит, оно делит $p$), а $p$ взаимно просто с $q$ (значит, оно делит $m$). Следовательно, $m = p$, откуда $p(q+r)= p^{2}$ и $q + r= p$. Отсюда вытекает, что
$a + b = pq + pr = p(q + r) = p^{2}$,
$a - c = pq - qr = q(p-r) = q^{2}$
и $b - c = pr - qr = r(p - q) = r^{2}$.
