Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13274
2023-08-14 
Паскаль расположил биномиальные коэффициенты в виде следующей таблицы (треугольника Паскаля):
$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3&6 & 10 & 15 & 21 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 \\ 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & 252 \end{matrix}$
$\cdots$
Докажите, что если мы вырежем из этой бесконечной таблицы квадрат любого размера, первая строка (или столбец) которого будет расположена на первой строке (столбце) данной таблицы, то определитель любого такого квадрата будет равен 1.
Решение:
Закон, по которому составлена наша таблица, заключается в том, что каждый элемент равен сумме двух других элементов, один из которых стоит непосредственно над данным элементом, а второй - слева от данного элемента. Применим к нашему определителю $n$-го порядка операцию вычитания столбцов $(столб.)_{i} - (столб.)_{i-1}, i = n, (n-1), \cdots , 2$, а затем разложим
его по первой строке. В результате мы получим определитель ($n - 1$)- го порядка, равный минору, который определяется элементом, стоящим в левом 'нижнем углу исходного определителя. Продолжая этот процесс, мы придем в конце концов к значению 1. Например:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 10 & 15 & 21 \\ 10 & 20 & 35 & 56 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 5 & 6 \\ 10 & 10 & 15 & 21 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 10 & 15 & 21 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ 10 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 1$.
Поскольку исходная таблица симметрична относительно главной диагонали, приведенное доказательство остается справедливым и для определителей, первый столбец которых расположен в первом столбце таблицы. Только в этом случае следует вычитать не столбцы, а строки.
Паскаль расположил биномиальные коэффициенты в виде следующей таблицы (треугольника Паскаля):
$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3&6 & 10 & 15 & 21 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 \\ 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & 252 \end{matrix}$
$\cdots$
Докажите, что если мы вырежем из этой бесконечной таблицы квадрат любого размера, первая строка (или столбец) которого будет расположена на первой строке (столбце) данной таблицы, то определитель любого такого квадрата будет равен 1.
Решение:
Закон, по которому составлена наша таблица, заключается в том, что каждый элемент равен сумме двух других элементов, один из которых стоит непосредственно над данным элементом, а второй - слева от данного элемента. Применим к нашему определителю $n$-го порядка операцию вычитания столбцов $(столб.)_{i} - (столб.)_{i-1}, i = n, (n-1), \cdots , 2$, а затем разложим
его по первой строке. В результате мы получим определитель ($n - 1$)- го порядка, равный минору, который определяется элементом, стоящим в левом 'нижнем углу исходного определителя. Продолжая этот процесс, мы придем в конце концов к значению 1. Например:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 10 & 15 & 21 \\ 10 & 20 & 35 & 56 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 5 & 6 \\ 10 & 10 & 15 & 21 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 10 & 15 & 21 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ 10 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 1$.
Поскольку исходная таблица симметрична относительно главной диагонали, приведенное доказательство остается справедливым и для определителей, первый столбец которых расположен в первом столбце таблицы. Только в этом случае следует вычитать не столбцы, а строки.
