Я хочу предложить вам одну разновидность известной игры в «двадцать вопросов», суть которой такова. Я задумываю натуральное число, а вы должны отгадать его, задав не более двадцати вопросов, на каждый из которых можно ответить только «да» или «нет». Чему равно наибольшее чнсло, задумав которое, я все еще смогу получить от вас правильный ответ после двадцати вопросов?
Подробнее
При каком положительном целом $n$ величина $n^{4} + n^{2}$ разделится без остатка на $2n + 1$?
Подробнее
Утверждение «342=97» можно сделать справедливым, вставив между цифрами несколько алгебраических знаков, например $(-3 + 4) \cdot 2 = 9 - 7$. Можно ли придать смысл этому равенству, не вставляя никаких знаков?
Подробнее
Докажите, для любого натурального $n$ существует множество из $n$ составных чисел, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаимно просты.
Подробнее
Найдите все целые числа $x, y, z$, при которых величина $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляв собой полный квадрат.
Подробнее
Могут ли величины $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ одновременно принимать рациональные значения для какого-нибудь $\theta$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$?
Подробнее
Может ли натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единиц, быть простым?
Подробнее
Могут ли квадратные корни из трех различных простых чисел быть членами одной и той же геометрической прогрессии?
Подробнее
Покажите. что все целые решения уравнения
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = u^{3}$,
где $x, y, z, u$ образуют арифметическую прогрессию, кратны $x = 3, y = 4, z = 5, u = 6$.
Подробнее
Покажите, что число $log_{e} 2$ иррационально,
Подробнее
Пусть $a, m, n$ - положительные целые числа и $n$, кроме того, нечетно. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} + 1$ не превосходит 2.
Подробнее
Квадрат $3 \times 3$ мы называем гномон-магическим, если суммы чисел, составляющих квадраты $2 \times 2$, которые остаются после удаления из исходного квадрата одного из четырех «уголков» (гномонов). равны между собой. Покажите, что у гномон-магического квадрата третьего порядка суммы чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой. Сохраняется ли это свойство для более высоких порядков?
Подробнее
Докажите, что диофантово уравнение $5^{x} + 2 = 17^{y}$ не имеет решений.
Подробнее
При каком значении $a$ график функции $a^{x}$ касается графика функции $log_{a} x$?
Подробнее
Предположим, что $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа (такая пара называется простыми близнецами), большие 10. Докажите, что $a^{3} - 4a$ делится на 120.
Подробнее