Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13264
2023-08-14 
Некоторое число представляет собой произведение трех простых сомножителей, сумма квадратов которых равна 2331. Существует 7560 чисел (включая 1), меньших данного н взаимно простых с ним. Сумма всех делителей данного числа (включая 1 и само число) равна 10560. Найдите это число.
Решение:
Пусть $N = pqr$. Тогда $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 2331$; значит, каждое из этих простых чисел меньше $\sqrt{2331} < 49$, а все простые числа нечетны.
Сумма всех делителей числа $N$ равна $(1 + p) \cdot (1 + q) \cdot (1 + r) = 10560 = 11 \cdot 960$. Единственное кратное 11, не превосходящее 49 и на 1 большее некоторого простого числа, равно 44, так что $r = 43$. Поэтому $p^{2} + q^{2} = 482$ и каждое из этих двух чисел меньше $\sqrt{482} < 22$. Далее заметим, что квадрат нечетного числа может оканчиваться лишь на 1,5 или 9, так что и $p^{2}$ и $q^{2}$ оканчиваются на 1. Следовательно, $p = 11, q = 19$ и $N = 11 \cdot 19 \cdot 43 = 8987$.
Некоторое число представляет собой произведение трех простых сомножителей, сумма квадратов которых равна 2331. Существует 7560 чисел (включая 1), меньших данного н взаимно простых с ним. Сумма всех делителей данного числа (включая 1 и само число) равна 10560. Найдите это число.
Решение:
Пусть $N = pqr$. Тогда $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 2331$; значит, каждое из этих простых чисел меньше $\sqrt{2331} < 49$, а все простые числа нечетны.
Сумма всех делителей числа $N$ равна $(1 + p) \cdot (1 + q) \cdot (1 + r) = 10560 = 11 \cdot 960$. Единственное кратное 11, не превосходящее 49 и на 1 большее некоторого простого числа, равно 44, так что $r = 43$. Поэтому $p^{2} + q^{2} = 482$ и каждое из этих двух чисел меньше $\sqrt{482} < 22$. Далее заметим, что квадрат нечетного числа может оканчиваться лишь на 1,5 или 9, так что и $p^{2}$ и $q^{2}$ оканчиваются на 1. Следовательно, $p = 11, q = 19$ и $N = 11 \cdot 19 \cdot 43 = 8987$.
