Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13282
2023-08-14 
Какая из двух величин больше: $\sqrt[8]{8}!$ или $\sqrt[9]{9}!$?
Решение:
В общем случае $n! < (n + 1)^{n}$, поскольку каждый из $n$ сомножителей, стоящих в левой части, меньше ($n + 1$). Поэтому
$(n!)^{n} n! < (n!)^{n} (n + 1)^{n}$ или $(n!)^{n+1} < [(n + 1)!]^{n}$.
Извлекая из обеих частей данного неравенства корень степени $n(n + 1)$, мы получим
$(n!)^{ \frac{1}{n}} < [(n + 1)!]^{ \frac{1}{n+1}}$.
В нашем конкретном случае мы могли бы рассуждать и так. Допустим, что $(8!)^{ \frac{1}{8}} \geq (9!)^{ \frac{1}{9}}$. Возведя обе части данного неравенства в 72-ю степень, мы придем к неравенству $(8!)^{9} \geq (9!)^{8}$, ложность которого станет оче. видной, если мы разделим обе его части на $(8!)^{8}$. (Действительно, мы получим при этом $8! \geq 9^{8}$, что неверно.)
Таким образом, $\sqrt[8]{ 8!} < \sqrt[9]{9!}$.
Какая из двух величин больше: $\sqrt[8]{8}!$ или $\sqrt[9]{9}!$?
Решение:
В общем случае $n! < (n + 1)^{n}$, поскольку каждый из $n$ сомножителей, стоящих в левой части, меньше ($n + 1$). Поэтому
$(n!)^{n} n! < (n!)^{n} (n + 1)^{n}$ или $(n!)^{n+1} < [(n + 1)!]^{n}$.
Извлекая из обеих частей данного неравенства корень степени $n(n + 1)$, мы получим
$(n!)^{ \frac{1}{n}} < [(n + 1)!]^{ \frac{1}{n+1}}$.
В нашем конкретном случае мы могли бы рассуждать и так. Допустим, что $(8!)^{ \frac{1}{8}} \geq (9!)^{ \frac{1}{9}}$. Возведя обе части данного неравенства в 72-ю степень, мы придем к неравенству $(8!)^{9} \geq (9!)^{8}$, ложность которого станет оче. видной, если мы разделим обе его части на $(8!)^{8}$. (Действительно, мы получим при этом $8! \geq 9^{8}$, что неверно.)
Таким образом, $\sqrt[8]{ 8!} < \sqrt[9]{9!}$.
