Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13255
2023-08-14 
Некое число, которое записывается с помощью менее чем 30 цифр, начинается (если двигаться слева направо) с цифр 15, то есть имеет вид 15 ... Если мы умножим его на 5, то результат можно получить, просто передвинув эти две цифры на правый конец; в итоге получится число вида ... 15. Найдите исходное число.
Решение:
Обозначим через $f$ правильную дробь, в десятичном периодическом разложении которой один период совпадает как раз с исходным числом 15 ... . В сил у условий данной задачи $5f = 0, \cdots 15\cdots, 15 \cdots$, а $100f = 15, \cdots 15 \cdots 15 \cdots$, откуда $95f = 15$ и $f = \frac{3}{19}$. Разлагая $\frac{3}{19}$ в десятичную дробь, мы обнаружим, что ее период состоит из 18 цифр: 157894736842105263. Это и есть искомое число. Оно единственно, если мы рассматриваем не более чем 30-значные числа. Если же мы изменим это ограничение и рассмотрим, например, числа, которые записываются с помощью не более чем 50 цифр, то найдется еще одно решение задачи - 36-значное число, совпадающее с двумя периодами дроби $f$.
Некое число, которое записывается с помощью менее чем 30 цифр, начинается (если двигаться слева направо) с цифр 15, то есть имеет вид 15 ... Если мы умножим его на 5, то результат можно получить, просто передвинув эти две цифры на правый конец; в итоге получится число вида ... 15. Найдите исходное число.
Решение:
Обозначим через $f$ правильную дробь, в десятичном периодическом разложении которой один период совпадает как раз с исходным числом 15 ... . В сил у условий данной задачи $5f = 0, \cdots 15\cdots, 15 \cdots$, а $100f = 15, \cdots 15 \cdots 15 \cdots$, откуда $95f = 15$ и $f = \frac{3}{19}$. Разлагая $\frac{3}{19}$ в десятичную дробь, мы обнаружим, что ее период состоит из 18 цифр: 157894736842105263. Это и есть искомое число. Оно единственно, если мы рассматриваем не более чем 30-значные числа. Если же мы изменим это ограничение и рассмотрим, например, числа, которые записываются с помощью не более чем 50 цифр, то найдется еще одно решение задачи - 36-значное число, совпадающее с двумя периодами дроби $f$.
