Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13285
2023-08-14 
Докажем, что выражение
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не будет целым ни при каком $n > 1$.
Решение:
Рассмотрим конечную числовую последовательность $1, 2, \cdots , n$. Среди ее членов есть один и только один член $\theta$, в разложении которого на простые сомножители 2 содержится в максимальной степени. Обозначим наименьшее общее кратное всех членов данной последовательности через $2M$. Умножим далее обе части равенства $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ на $M$. В правой части каждое слагаемое, за исключением $\frac{1}{ \theta}$, после умножения на $M$ даст целое число. Число $\frac{M}{ \theta}$ не может быть целым, поскольку после всех сокращений в знаменателе этой дроби останется 2. Следовательно, число $SM$ (а значит, и $S$) не может быть целым.
Докажем, что выражение
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не будет целым ни при каком $n > 1$.
Решение:
Рассмотрим конечную числовую последовательность $1, 2, \cdots , n$. Среди ее членов есть один и только один член $\theta$, в разложении которого на простые сомножители 2 содержится в максимальной степени. Обозначим наименьшее общее кратное всех членов данной последовательности через $2M$. Умножим далее обе части равенства $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ на $M$. В правой части каждое слагаемое, за исключением $\frac{1}{ \theta}$, после умножения на $M$ даст целое число. Число $\frac{M}{ \theta}$ не может быть целым, поскольку после всех сокращений в знаменателе этой дроби останется 2. Следовательно, число $SM$ (а значит, и $S$) не может быть целым.
