Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13280
2023-08-14 
Недавно профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо ходил буквально надутым от гордости, поскольку ему удалось угадать корень уравнения четвертой степени, которое получалось после освобождения от радикалов в уравнении
$x = \left (x - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} } + \left ( 1 - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} }$.
Посрамите профессора и решите данное уравнение, пользуясь уравнениями не выше второй степени.
Решение:
Пусть $b = \left ( x - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2}}$ и $a = \left (1 - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} }$; тогда
$x = a + b$, (1)
а поскольку $x \neq 0$,
$b - a = \frac{b^{2} - a^{2}}{b + a} = \frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ (2)
Складывая (1) и (2), получим
$2b = x - \frac{1}{x} + 1 = b^{2} + 1$,
откуда $b = 1$. Следовательно.
$x - \frac{1}{x} = 1, x^{2} - x - 1 = 0$ и $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Однако исходному уравнению удовлетворяет только
$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Недавно профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо ходил буквально надутым от гордости, поскольку ему удалось угадать корень уравнения четвертой степени, которое получалось после освобождения от радикалов в уравнении
$x = \left (x - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} } + \left ( 1 - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} }$.
Посрамите профессора и решите данное уравнение, пользуясь уравнениями не выше второй степени.
Решение:
Пусть $b = \left ( x - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2}}$ и $a = \left (1 - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} }$; тогда
$x = a + b$, (1)
а поскольку $x \neq 0$,
$b - a = \frac{b^{2} - a^{2}}{b + a} = \frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ (2)
Складывая (1) и (2), получим
$2b = x - \frac{1}{x} + 1 = b^{2} + 1$,
откуда $b = 1$. Следовательно.
$x - \frac{1}{x} = 1, x^{2} - x - 1 = 0$ и $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Однако исходному уравнению удовлетворяет только
$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
