По вертикальному столбу высотой 6 м движется улитка. За день она поднимается на 4 м, за ночь опускается на 3 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы добраться до вершины?
Подробнее
На какие множители разлагается число 1 000 000 000 001?
Подробнее
Собака погналась за лисицей. В то время, когда собака делает 2 скачка, лисица делает 3 скачка, но скачок лисицы равен 1 м, а собаки 2 м. Какое расстояние пробежит собака, чтобы догнать лисицу, если первоначальное расстояние между ними равно 50 м.
Подробнее
Сколько страниц. Для того, чтобы пронумеровать страницы одного крупного научного труда, потребовалось 3389 цифр. Сколько страниц в этой книге?
Подробнее
Доказать, что $11^{10} - 1$ делится на 100.
Подробнее
Докажите, что значение выражения $96^{7} - 22^{5} - 48^{6}$ кратно 10.
Подробнее
Сколько делителей у числа $10^{10}$?
Подробнее
Некий фермер должен купить 100 голов скота за 100 долларов. Если каждый теленок стоит 10 долларов, каждый ягненок 3 и каждый поросенок 0,5 доллара, то сколько всего телят, ягнят и поросят купит фермер?
Подробнее
Два парома ходят между двумя противоположными берегами реки с постоянными скоростями. Достигнув берега, каждый из них тут же начинает двигаться в обратном направлении. Паромы отчалили от противоположных берегов одновременно, встретились впервые в 700 м от одного из берегов, поплыли дальше каждый к соответствующему берегу, затем повернули назад и вновь встретились в 400 м от другого берега. Определите в уме ширину реки.
Подробнее
Некое число, которое записывается с помощью менее чем 30 цифр, начинается (если двигаться слева направо) с цифр 15, то есть имеет вид 15 ... Если мы умножим его на 5, то результат можно получить, просто передвинув эти две цифры на правый конец; в итоге получится число вида ... 15. Найдите исходное число.
Подробнее
Паскаль расположил биномиальные коэффициенты в виде следующей таблицы (треугольника Паскаля):
$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3&6 & 10 & 15 & 21 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 \\ 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & 252 \end{matrix}$
$\cdots$
Докажите, что если мы вырежем из этой бесконечной таблицы квадрат любого размера, первая строка (или столбец) которого будет расположена на первой строке (столбце) данной таблицы, то определитель любого такого квадрата будет равен 1.
Подробнее
Покажите, что не существует трех последовательных нечетных чисел, каждое из которых представляло бы собой сумму двух квадратов, отличных от нуля.
Подробнее
Покажите, что целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
Подробнее
Я хочу предложить вам одну разновидность известной игры в «двадцать вопросов», суть которой такова. Я задумываю натуральное число, а вы должны отгадать его, задав не более двадцати вопросов, на каждый из которых можно ответить только «да» или «нет». Чему равно наибольшее чнсло, задумав которое, я все еще смогу получить от вас правильный ответ после двадцати вопросов?
Подробнее
Докажите, для любого натурального $n$ существует множество из $n$ составных чисел, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаимно просты.
Подробнее
