Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13308
2023-08-14 
Докажите, для любого натурального $n$ существует множество из $n$ составных чисел, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаимно просты.
Решение:
Заметим, что если $2 \leq k \leq N$, то $N! + k$ - составное число. При любом заданном $n$ выберем простое число $p > n$ и целое число $N \geq p + (n - 1)n!$. Тогда целые составные числа $N! + p, N! + p + n!, \cdots , N! + p + (n - 1)n!$ будут образовывать арифметическую прогрессию. Более того, если $q$ - общий простой делитель двух из этих чисел, то их разность $jn!$ ($0 < j < n$) должна делиться на $q$. Следовательно, $q \geq n$. Но отсюда вытекает, что $N!$ делится на $q$, а значит, и $p$ делится на $n$, что невозможно. Таким образом, все эти числа попарно взаимно просты.
Докажите, для любого натурального $n$ существует множество из $n$ составных чисел, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаимно просты.
Решение:
Заметим, что если $2 \leq k \leq N$, то $N! + k$ - составное число. При любом заданном $n$ выберем простое число $p > n$ и целое число $N \geq p + (n - 1)n!$. Тогда целые составные числа $N! + p, N! + p + n!, \cdots , N! + p + (n - 1)n!$ будут образовывать арифметическую прогрессию. Более того, если $q$ - общий простой делитель двух из этих чисел, то их разность $jn!$ ($0 < j < n$) должна делиться на $q$. Следовательно, $q \geq n$. Но отсюда вытекает, что $N!$ делится на $q$, а значит, и $p$ делится на $n$, что невозможно. Таким образом, все эти числа попарно взаимно просты.
