Будем называть $2n$-значное число особым, если око само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми цифрами и его последними $n$ цифрами, также являются точными квадратами (при этом второе $n$-значное число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю, а первое не может начинаться с нуля).
а) Найдите все двузначные и четырехзначные особые числа.
б) Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет или приведите пример такого числа,)
в) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.
г) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.
д) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число.
Подробнее
В тетради написано несколько чисел. Разрешается приписать к уже написанным числам любое число, равное среднему арифметическому двух или нескольких из них, если только оно отлично от всех уже написанных. Докажите, что, начиная с двух чисел 0 и 1, с помощью таких приписок можно получить:
а) число 1/5;
б) любое рациональное число между 0 и 1.
Подробнее
Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок $[0; 1]$ разбит на $p + q$ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из $p + q - 2$ чисел
$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \cdots, \frac{p-1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \cdots, \frac{q-1}{q}$.
Подробнее
Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получающееся число $192021 \cdots 7980$ на 1980?
Подробнее
Окружность радиуса 1 см касается окружности радиуса 3 см в точке $C$. Прямая, проходящая через точку $C$, пересекает окружность меньшего радиуса в точке $A$, а большего радиуса в точке $B$. Найти длину отрезка $AC$, если длина отрезка $AB$ равна $2 \sqrt{5}$ см.
Подробнее
Запишем рациональные положительные числа в виде последовательности:
$\frac{1}{1}; \frac{2}{1}, \frac{1}{2}; \frac{3}{1}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3} ; \frac{4}{1}, \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}; \cdots$.
Найти номер места, на котором стоит $\frac{1977}{1917}$.
Подробнее
Найти наибольшее нечетное натуральное число, которое нельзя представить в виде суммы трех неравных составных натуральных чисел.
Подробнее
Найти сумму $1^{3} + 5^{3} + 9^{3} + \cdots + (4n + 1)^{3}$.
Подробнее
$8n - 4$ точек расположены в виде креста (рис. для $n = 4$). Сколькими способами можно выбрать из этих точек четыре, являющиеся вершинами квадрата?
Подробнее
На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
Подробнее
В стране Зазеркалье международный математический конкурс «Кенгуру» проходит по странным правилам - не таким, как в России. На решение задач там отводится 130 минут. Шалтай-Болтай за 5 минут решает любую 6-ти бальную задачу, за 7 минут - 8-ми балльную задачу, за 14 минут - 19-ти балльную задачу. Какое наибольшее количество баллов может набрать Шалтай-Болтай, если всего было 30 задач, по 10 штук каждого вида?
Подробнее
После международного математического конкурса «Кенгуру-2001» сто школьников собрались обсудить свои результаты. В конце каждый из них сказал, у скольких из присутствующих количество баллов не совпадает с количеством его баллов. К удивлению оказалось, что у каждого количество баллов совпадает с названным им числом. Какое наибольшее количество различных чисел могло быть названо?
Подробнее
За круглым столом сидит 100 человек, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый за столом сказал: "Сидящий справа от меня и двое сидящих сразу за ним - лжецы." Сколько лжецов сидит за столом?
Подробнее
Какое наибольшее количество целых чисел от 1 до 2003 можно взять так, чтобы их произведение оканчивалось цифрой 2?
Подробнее
Жюри областной олимпиады первоначально состояло из 30-ти человек. Каждый член жюри считал, что некоторые из его коллег компетентны, а остальные - нет, и своего твердого мнения не изменял. Каждый день проводилось голосование, и те члены жюри, которые были признаны некомпетентными более чем половиной голосовавших, из состава жюри исключались. Докажите, что не более чем через 15 голосований исключенных больше не было, (По поводу собственной компетентности никто не голосовал. Каждый раз голосовали все оставшиеся в жюри, никто не воздерживался).
Подробнее