2022-11-02
Какое наибольшее количество целых чисел от 1 до 2003 можно взять так, чтобы их произведение оканчивалось цифрой 2?
Решение:
Перемножим все числа от 1 до 2003 и будем вычеркивать сомножители. Ясно, что придется вычеркнуть все числа, делящиеся на 5, а таких - 400 штук. Несложно посчитать, что произведение оставшихся чисел оканчивается цифрой 6 ($1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9$ оканчивается на 6, $2001 \cdot 2002 \cdot 2003$ оканчивается на 6, произведение нескольких чисел с шестерками на конце оканчивается на 6), Поэтому нужно вычеркнуть еще хотя бы одно число. Вычеркнем любое число, оканчивающееся на 8, Тогда произведение оставшихся будет оканчивать или на 2 или на 7, так как только $7 \cdot 8$ и $2 \cdot 8$ оканчиваются на 6. Но на 7 произведение оканчиваться не может, поскольку в нем есть четные числа. Таким образом, достаточно вычеркнуть 401 число, а меньшим количеством обойтись нельзя. Итак, можно взять 2003 - 401 = 1602 числа, к которым уже ничего нельзя добавить.
Ответ. 1602.
Комментарий. После вычеркивания всех чисел, делящихся на 5, можно вычеркнуть любое число, оканчивающееся на 3, Это несколько более короткое решение.