2022-11-02
После международного математического конкурса «Кенгуру-2001» сто школьников собрались обсудить свои результаты. В конце каждый из них сказал, у скольких из присутствующих количество баллов не совпадает с количеством его баллов. К удивлению оказалось, что у каждого количество баллов совпадает с названным им числом. Какое наибольшее количество различных чисел могло быть названо?
Решение:
Разобьем школьников на группы по количеству набранных ими баллов. Если в группе $k$ человек, то каждый из них набрал $(100 - k)$ баллов (поскольку вне этой группы как раз $100 - k$ школьников). Количества баллов у школьников разных групп различны, поэтому численности групп также различны, а общая численность - 100 человек. Тем самым число 100 должно раскладываться в сумму нескольких различных натуральных чисел. Ясно, что количество таких чисел не больше 13 (иначе всего будет не менее $1 + 2 + \cdots + 14 = 105$ человек, а у нас - 100).
Осталось построить пример, в котором действительно названо 13 различных чисел. Доказательство оценки подсказывает способ построения. Пусть $1,2, \cdots , 12, 22$ человека набран соответственно $100 - 1, 100 - 2, \cdots ,100 - 12, 100 - 22$ баллов. Возможно много других правильных примеров.
Ответ. 13