2022-10-26
Найти сумму $1^{3} + 5^{3} + 9^{3} + \cdots + (4n + 1)^{3}$.
Решение:
С помощью индукции нетрудно доказать, что
$1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2} = \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, а
$1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} = \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2} }{4}$.
Используя эти формулы, имеем:
$1^{3} + 5^{3} + 9^{3} + \cdots + (4n+1)^{3} = \sum_{k=0}^{n} (4k+1)^{3} = \sum_{k=0}^{n} (4^{3}k^{3} + 3 \cdot 4^{2}k^{2} + 3 \cdot 4k + 1 ) = 4^{3} \sum_{k=0}^{n} k^{3} + 48 \sum_{k=0}^{n} k^{2} + 12 \sum_{k=0}^{n} k + (n + 1) = 4^{3} \frac{n^{2}(n+1)^{2} }{4} + 48 \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + 12 \frac{n(n + 1)}{2} + n + 1 = (n + 1)(16n^{3} + 16n^{2} + 6n + 1 + 8n^{2} + 4n ) = (n + 1)(2n + 1)(8n^{2} + 8n + 1 )$.