2022-04-28
Окружность радиуса 1 см касается окружности радиуса 3 см в точке $C$. Прямая, проходящая через точку $C$, пересекает окружность меньшего радиуса в точке $A$, а большего радиуса в точке $B$. Найти длину отрезка $AC$, если длина отрезка $AB$ равна $2 \sqrt{5}$ см.
Решение:
Возможны два случая расположения окружностей (рис.).
Пусть $DC$ и $CE$ соответственно диаметры окружностей меньшего и большего радиусов. Так как обе прямые $DC$ и $CE$ должны быть перпендикулярны общей касательной к окружностям, проведенной в точке $C$, то прямые $DC$ и $CE$ совпадают, т. е. точки $D, C$ и $E$ лежат на одной прямой.
Обозначим буквой $\phi$ величину угла $ACD$. Легко видеть, что в обоих случаях $\angle BCE = \phi$. Углы $DAC$ и $CBE$ опираются на диаметры соответствующих окружностей и потому равны $\frac{ \pi}{2}$. Так как $DC = 2$ и $CE = 6$, то из прямоугольных треугольников $ADC$ и $BCE$ находим, что $AC = 2 \cos \phi, BC = 6 \cos \phi$.
В случае, изображенном на рис. а), имеем
$AB = AC + BC = 8 \cos \phi$.
Из условия следует, что $8 \cos \phi = 2 \sqrt{5}, \cos \phi = \frac{ \sqrt{5} }{4}$ и $AC = 2 \cos \phi = \frac{ \sqrt{5} }{2}$.
В случае, изображенном на рис. б), имеем
$AB = BC - AC = 4 \cos \phi$.
Должно выполняться равенство $4 \cos \phi = 2 \sqrt{5}$ или $\cos \phi = \frac{ \sqrt{5} }{2}$. Поскольку $\frac{ \sqrt{5} }{2} > 1$, то заключаем, что второй случай невозможен.
Ответ: $\frac{ \sqrt{5} }{2}$ см.