Дано уравнение с переменной $x: (a^{2} - 1)(b - 1)x = (a - 1)(b^{2} - 1)$. При каких значениях $a$ найдется значение $b$ такое, что данное уравнение не имеет корней?
Подробнее
Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно разрезать на четыре равные трапеции.
Подробнее
В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел?
Подробнее
После того, как учительница Марьиванна пересадила Вовочку с первого ряда на второй, Ванечку - со второго ряда на третий, а Машеньку - с третьего ряда на первый, средний возраст учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду - увеличился на две недели, а сидящих в третьем ряду - уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом и на втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду?
Подробнее
Угол $BAC$ треугольника $ABC$ равен $120^{ \circ}$. На биссектрисе этого угла взята точка $D$ так, что $AD = AB + AC$. Найдите углы треугольника $BDC$.
Подробнее
В некоторых клетках таблицы $100 \times 100$ стоят крестики. Каждый крестик является единственным либо в строке, либо в столбце. Какое наибольшее количество крестиков может стоять в таблице?
Подробнее
О четырехугольнике известно, что две его стороны параллельны и что точка пересечения диагоналей является серединой одной из диагоналей. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?
Подробнее
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен одной из медиан. Какой угол образует эта медиана со вторым катетом?
Подробнее
У Пети были монеты достоинством в 1 рубль и 1 копейку, причем копеек было меньше, чем на рубль. Покупая продукты, Петя потратил половину всей суммы. После этого у него снова оказались только рубли и копейки, причем копеек оказалось столько, сколько вначале было рублей, а рублей оказалось вдвое меньше, чем вначале было копеек. Сколько денег было у Пети первоначально?
Подробнее
В четырехугольнике $ABCD$ углы $A$ и $B$ - прямые. Известно также, что $CD = AD + BC$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $AB$ в точке $M$. Найдите угол $CMD$.
Подробнее
Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма всех трехзначных замечательных чисел?
Подробнее
Решите уравнение:
$(1 + x + \cdots + x^{7})(1 + x + \cdots + x^{5}) = (1 + x + \cdots + x^{6})^{2}$.
Подробнее
На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник $BEC$ с основанием $BC$. Известно, что угол $EAD$ равен $75^{ \circ}$. Найдите угол $BEC$.
Подробнее
На поле E1 шахматной доски стоит шашка. Сколько существует различных маршрутов, по которым она сможет пройти в дамки?
(Напомним, что шашка может ходить вперед по диагонали на соседнюю клетку и превращается в дамку, если достигает восьмой горизонтали).
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD : BD = BE : EC = 2$ и $\angle ACB = 2 \angle BED$. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Подробнее