$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Укажите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых $A, B$ и $M$ являются вершинами равнобедренного треугольника.
Подробнее
Известно, что числа $2n + 1$ и $3n + 1$, где $n$ - натуральное число, являются точными квадратами. Может ли число $5n + 3$ быть простым?
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $B$, противолежащий основанию, равен $20^{ \circ}$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $BD = AC$. Найдите угол $ACD$.
Подробнее
Заведующая библиотекой, увидев, что 8 томов «Малой энциклопедии козлов» стоят в беспорядке, указала на это библиотекарю. Тот в ответ заявил: «Беспорядок - небольшой, так как каждый том стоит либо на своем месте, либо на соседнем».
Сколькими способами можно расставить тома энциклопедии в соответствии с этим условием?
Подробнее
Числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $a + b = c + d$ и $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$. Верно ли, что $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$?
Подробнее
В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. На большем основании $AD$ выбрана точка $M$ так, что $BM = MD = 3 см$. Найдите длину средней линии трапеции.
Подробнее
В круговом турнире каждый участник встретился с каждым один раз (победа - 1 очко, ничья - 0,5 очка, поражение - 0). Единоличным победителем турнира стал Иванов. Затем за употребление допинга был дисквалифицирован Петров, результаты всех игр с его участием были аннулированы, и единоличным победителем оказался Сидоров. Петров утверждает, что если бы дисквалифицировали не его, а Сидорова, то он (Петров) стал бы единоличным победителем. Может ли это быть правдой?
Подробнее
Решите уравнение:
$2x^{2} + 5y^{2} - 4xy - 2y - 4x + 5 = 0$.
Подробнее
В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ - середина стороны $BC$, точка $N$ - середина стороны $CD$, $P$ - точка пересечения отрезков $DM$ и $BN$. Докажите, что $\angle MAN = \angle BPM$.
Подробнее
У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них - щуки, треть - окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, - караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?
Подробнее
Верно ли, что все корни уравнения
$\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ca}{c + a} = a + b + c$,
где $a, b$ и $c$ - данные натуральные числа, являются целыми числами?
Подробнее
В выпуклом четырехугольнике $ABCD: AD = BC; \angle ABD + \angle CDB = 180^{ \circ}$. Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$.
Подробнее
Дан круг радиуса 10 см. На одном из его радиусов отмечены пять точек: на расстояниях 1, 3, 5, 7 и 9 см от центра соответственно. Разрежьте этот круг на 5 равных частей так, чтобы в каждой части оказалась ровно одна точка.
Подробнее
Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых (см. рисунок). Точки $M, P, N$ и $Q$ - середины отрезков $AC, BD, BC$ и $AD$ соответственно. Найдите $QN$, если $MP = 4 см$.
Подробнее
В шахматном турнире каждый участник встретился с каждым ровно один раз (победа - 1 очко, поражение - 0, ничья - пол-очка). Все шахматисты набрали одинаковое количество очков. Если удалить любого участника и аннулировать результаты встреч с ним, то количество очков у всех остальных участников по-прежнему будет одинаковым. Верно ли, что все партии этого турнира закончились вничью?
Подробнее