2018-12-06
У Пети были монеты достоинством в 1 рубль и 1 копейку, причем копеек было меньше, чем на рубль. Покупая продукты, Петя потратил половину всей суммы. После этого у него снова оказались только рубли и копейки, причем копеек оказалось столько, сколько вначале было рублей, а рублей оказалось вдвое меньше, чем вначале было копеек. Сколько денег было у Пети первоначально?
Решение:
Первый способ. Пусть у Пети было $x$ рублей и $y$ копеек, тогда общая сумма его денег - $(100x + y)$ копеек. После покупки продуктов у Пети осталась половина этой суммы, то есть $(50x + 0,5y)$ копеек. По условию, рублей у Пети стало $0,5y$, а копеек - $x$, то есть всего $(50y + x)$ копеек. Составляем уравнение: $50x + 0,5y = 50y + x$. Упростив его, получим: $98x = 99y \Leftrightarrow 98(x - y) = y$. Так как $x$ и $y$ - натуральные числа, то у делится на 98. Но копеек у Пети было меньше, чем на рубль, поэтому $y < 100$, следовательно, $y = 98$, тогда $x = 99$.
Второй способ. Пусть после покупок у Пети осталось $a$ рублей и $b$ копеек, тогда сумма его денег вначале была равна $2a$ рублей и $2b$ копеек. Рассмотрим два случая:
1) $b < 50$, тогда $2b < 100$. Из условия следует, что
$\begin{cases} b = 2a, \\ a = b \end{cases}$, что возможно только при $a = b = 0$.
2) $b \geq 50$, тогда $2b \geq 100$. В этом случае один из рублей, который был у Пети вначале, оказался размененным на копейки, поэтому:
$\begin{cases} b = 2a + 1, \\ 2a = 2b - 100. \end{cases}$.
Решением этой системы уравнении является:
$\begin{cases} b = 99, \\ a = 49. \end{cases}$.
Таким образом, у Пети осталось 49 рублей 99 копеек, а было - 99 рублей 98 копеек.
Ответ: 99 рублей и 98 копеек.