2018-12-08
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD : BD = BE : EC = 2$ и $\angle ACB = 2 \angle BED$. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Решение:
Первый способ. Проведем СК - биссектрису треугольника АВС (см. рис. а). Так как $\angle BCK = \angle BED$, то $CK \parallel ED$. По теореме о пропорциональных отрезках получим, что $BD : DK = BE : EC = 2$. Следовательно, $BK = 1,5BD = 0,5AB$, то есть СК - медиана треугольника. Так как СК - медиана и биссектриса, то АВС - равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведем $EF \parallel AC$ (см. рис. б). По теореме о пропорциональных отрезках, получим, что: $BF : AF = BE : EC = 2$. Следовательно, BF = 2BD, то есть D - середина BF. Так как ED - биссектриса и медиана треугольника FBE, то он - равнобедренный, но этот треугольник подобен данному, значит, и треугольник АВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.