2018-12-08
Решите уравнение:
$(1 + x + \cdots + x^{7})(1 + x + \cdots + x^{5}) = (1 + x + \cdots + x^{6})^{2}$.
Решение:
Проверим, что $x = 1$ не является корнем данного уравнения. Действительно, при х = 1 левая часть принимает значение 48, а правая часть равна 49.
Умножим обе части исходного уравнения на $(x - 1)^{2}$. Используем формулу: $x^{n} - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + 1)$, где $n$ - натуральное число. Так как $(1 + x + \cdots + x^{7})(x - 1) = x^{6} - 1; (1 + x + \cdots + x^{6})(x - 1) = x^{7} - 1$ и $(1 + x + \cdots + x^{7})(x - 1) = x^{8} - 1$, то получим уравнение $(x^{8} - 1)(x^{6} - 1) = (x^{7} - 1)^{2}$. Раскроем скобки: $x^{14} - x^{8} - x^{6} + 1 = x^{14} - 2x^{7} + 1 \Leftrightarrow x^{8} + x^{6} = 2x^{7} \Leftrightarrow x^{6}(x - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ или $x = 1$.
Таким образом, $x = 0$ - единственное решение данного уравнения. Отметим, что если проверку делать в завершающей фазе решения, то необходимо проверять оба корня.
Ответ: 0.