2018-12-06
В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел?
Решение:
Пусть на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел, $n$ - наименьшее из них, а $S$ - их сумма. Тогда $S = n + (n + 1) + \cdots + (n + 5) = 6n + 15$. Так как каждая вершина принадлежит трем граням куба, то каждое число от 1 до 8 входит в три суммы, записанные на гранях. Поэтому, $S = (1 + 2 + \cdots + 8) \cdot 3 = 108$. Уравнение $6n + 15 = 108$ не имеет натуральных решений, так как в его левой части - нечетное число, а в правой части - четное.
Ответ: нет, не может.