2018-12-08
На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник $BEC$ с основанием $BC$. Известно, что угол $EAD$ равен $75^{ \circ}$. Найдите угол $BEC$.
Решение:
Построим вне квадрата на стороне ВС равносторонний треугольник $BE^{ \prime}C$ (см. рис.). Тогда треугольник $ABE^{ \prime}$ - равнобедренный с углом $150^{ \circ}$ при вершине В, следовательно, $\angle BE^{ \prime}A = \angle BAE^{ \prime} = 15^{ \circ}$. Поэтому $\angle E^{ \prime}AD = 90^{ \circ} - \angle BAE^{ \prime} = 75^{ \circ}$. Следовательно, точка Е лежит на луче $AE^{ \prime}$. Кроме того, точки $E$ и $E^{ \prime}$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Так как этот перпендикуляр не может пересекать луч $AE^{ \prime}$ более, чем в одной точке, то $E^{ \prime}$ совпадает с Е, следовательно, $\angle BEC = 60^{ \circ}$.
Ответ: $60^{ \circ}$.