Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевский жираф», принес с собой либо одну дохлую кошку, либо два кочана гнилой капусты, либо три тухлых яйца. Стоявший у входа Гекльберри Финн подсчитал, что кошек было 64 штуки. После спектакля оба артиста - король и герцог - были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю каждого досталось поровну предметов (а промахов жители Арканзаса не делают). Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все дохлые кошки полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?
Подробнее
Даны графики двух квадратичных функций: $f(x) = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1}$ и $g(x) = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}$, имеющие одинаковые направления «ветвей». Абсциссы их точек пересечения положительны, оси симметрии могут не совпадать (см. рисунок). Сравните соответствующие коэффициенты трехчленов.
Подробнее
Пусть $M$ - внутренняя точка равностороннего треугольника $ABC$. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам $MA, MB$ и $MC$, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?
Подробнее
Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
Подробнее
Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах меняется периметр треугольника?
Подробнее
Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ с боковой стороной $AB$ пересекаются в точке $P$. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABP$?
Подробнее
Корни уравнения $x^{2} + ax + 1 = b$ - целые, отличные от нуля, числа. Докажите, что число $a^{2} + b^{2}$ является составным.
Подробнее
Дан тупоугольный треугольник $ABC$. На стороне $AC$, лежащей против тупого угла, укажите такие точки $D$, что длина отрезка $BD$ является средним геометрическим длин отрезков $AD$ и $CD$.
Подробнее
Докажите, что среди чисел вида $19991999 \cdots 1999$ найдется хотя бы одно, которое делится на 2001.
Подробнее
Один из углов трапеции равен $60^{ \circ}$. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Подробнее
Решите уравнение $15(x + 1) = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| + |x - 5|$.
Подробнее
В треугольнике $ABC: \angle A > \angle B > \angle C$. К какой из сторон треугольника ближе всего расположен центр окружности, описанной около этого треугольника?
Подробнее
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Подробнее
$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Найдите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых выполняется условие: $\angle ABM$ - наибольший из углов треугольника $ABM$.
Подробнее
На столе поставлены в один ряд $N$ стаканов, перевёрнутые вверх дном. Разрешается одновременно переворачивать два стакана, стоящие через один. При каких значениях $N$ можно добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?
Подробнее