2018-12-06
Угол $BAC$ треугольника $ABC$ равен $120^{ \circ}$. На биссектрисе этого угла взята точка $D$ так, что $AD = AB + AC$. Найдите углы треугольника $BDC$.
Решение:
Первый способ. Отложим на луче AD отрезок АК, равный АВ (см. рис. а). Тогда $\Delta BAK$ - равнобедренный с углом $60^{ \circ}$, то есть, $\Delta BAK$ - равносторонний. Следовательно, ВК = ВА, DK = AD - АК = AD - АВ = СА и $\angle BKD = 180^{ \circ} - \angle BKA = 120^{ \circ} = \angle BAC$. Тогда $\Delta BKD = \Delta BAC$ (по двум сторонам и углу между ними), поэтому BD = ВС и $\angle DBC = \angle DBK + \angle CBK = \angle CBA + \angle CBK = 60^{ \circ}$. Таким образом, $\Delta BDC$ - равнобедренный с углом $60^{ \circ}$, то есть, $\Delta BDC$ - равносторонний.
Второй способ. Проведем прямые DE и DF, соответственно параллельные прямым АВ и АС (см. рис. б), тогда AEDF - параллелограмм, в котором диагональ AD является биссектрисой угла, то есть, AEDF - ромб. Из условия задачи следует, что $\angle DAF = \angle DAE = \angle DEA = 60^{ \circ}$, то есть, сторона ромба равна его диагонали, в частности, AD = АЕ = ED. Следовательно, ЕС = АЕ - АС = AD - АС = АВ. Тогда $\Delta ABD = \Delta ECD$ (по двум сторонам и углу между ними), поэтому, BD = CD. Кроме того, $\angle BDC = \angle BDA + \angle ADC = \angle EDC + \angle ADC = 60^{ \circ}$. Таким образом, $\Delta BDC$ - равнобедренный с углом $60^{ \circ}$, то есть, $\Delta BDC$ - равносторонний.
Возможны и другие способы решения, использующие различные дополнительные построения. Все эти способы, так или иначе, связаны с идеей поворота на плоскости вокруг некоторой точки. В част-HocmUj приведенные решения основаны на рассмотрении следующих поворотов: 1) с центром В на угол $60^{ \circ}$; 2) с центром D так, чтобы прямая АВ перешла в прямую АС {то есть также на $60^{ \circ}$).
Ответ: три угла по $60^{ \circ}$.