2018-12-06
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен одной из медиан. Какой угол образует эта медиана со вторым катетом?
Решение:
Рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С. Возможны два случая: 1) медиана проведена к гипотенузе; 2) медиана проведена к одному из катетов.
1) Пусть медиана СМ равна, например, катету ВС (см. рис. а). Кроме того, $CM = \frac{1}{2} AB = BM$, поэтому треугольник ВМС - равносторонний, следовательно, $\angle BCM = 60^{ \circ}$. Значит, искомый угол ACM равен $30^{ \circ}$.
2) Пусть BN - рассматриваемая медиана (см. рис. б). Так как BN > ВС, то остается принять, что BN = АС. Тогда $CN = \frac{1}{2} BN$, то есть в прямоугольном треугольнике $BCN \: \angle CBN = 30^{ \circ}$. Этот угол - искомый.
Ответ: $30^{ \circ}$.